Die Physiker machen eine Entdeckung, und siehe da: Auf wundersame Weise haben die Mathematiker schon eine Erklärung dafür bereit. Das geht häufig so; ein spektakuläres Beispiel war die Entdeckung der Quasikristalle 1984, für die der israelische Physiker Dan Shechtman jüngst mit dem Wolf-Preis geehrt wurde. Unter gewissen Bedingungen fügen sich Atome von – zum Beispiel – Aluminium und Mangan nicht, wie in einem gewöhnlichen Kristall, zu einer Anordnung, die sich in allen drei Raumrichtungen periodisch wiederholt, sondern zu einem Gebilde mit fünfzähliger Symmetrie (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1991, S. 48). Die beiden Möglichkeiten – periodisch oder fünfzählig-symmetrisch – schließen sich gegenseitig aus.

Zunächst glaubte niemand, daß die Atome eines Festkörpers ein Volumen mit einer gewissen Ordnung, aber ohne Periodizität füllen könnten. Immerhin ist eine solche Füllung möglich, wenn man anstelle der Atome Rhomboeder nimmt: Würfel, die in allen drei Raumrichtungen derart verzerrt sind, daß ihre Grenzflächen keine Quadrate, sondern Rhomben (Rauten) sind. Der inzwischen emeritierte Tübinger Physiker Peter Kramer hat eine lückenlose Füllung des Raumes mit Rhomboedern gefunden, die nachweislich nicht periodisch sein kann, auch nicht mit beliebig großer Periode, dafür jedoch eine fünfzählige (genauer: Ikosaeder-)Symmetrie aufweist.

Da zwei Dimensionen einfacher zu verstehen sind als drei, spielte sich der größte Teil der Forschungsaktivitäten nicht im Raum, sondern in der Ebene ab, mit gewöhnlichen Rauten anstelle der Rhomboeder. Das bekannteste Ergebnis dieser Aktivitäten sind die Pflasterungen der Ebene, die der Oxforder Mathematiker Roger Penrose (derselbe, der in jüngster Zeit durch seine Auseinandersetzung mit Stephen Hawking von sich reden machte, siehe Spektrum der Wissenschaft, September 1996, S. 46) in den siebziger Jahren intensiv erforscht hat. Man kann sich deren Bestandteile als Pflastersteine oder Kacheln (tiles) vorstellen. Bei der Penro