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Dossier | 28.03.2004

Serie zur räumlichen Geometrie

Diese Serie bringt jeden Monat einen neuen Spaziergang in die anschauliche und doch überraschende Welt der dreidimensionalen Geometrie. Diesmal nutzen wir die frisch erworbenen Kenntnisse in der Gruppentheorie, um große Mengen symmetrischer Körper zu erzeugen.
Rechts–links, vorne–hinten, oben–unten: Räumliche Beziehungen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem einzuordnen, fällt uns nicht schwer. Unser Vorstellungsvermögen wird schon mehr gefordert, wenn es darum geht, Spiegelungen um irgendwie schräg im Raum liegende Ebenen nachzuvollziehen oder einen sternförmigen Körper in seine Bestandteile zu zerlegen. Etwas elementare Geometrie und, vor allem, Symmetrieüberlegungen werden uns dabei hilfreich sein.

Die "Serienhelden" sind die fünf platonischen Körper. Sie sind so symmetrisch wie überhaupt nur möglich. Deswegen haben sie unweigerlich bei jeder besonders schönen räumlichen Anordnung ihre Finger im Spiel. Hier sind sie, zusammen mit einigen ihrer wesentlichen Eigenschaften:

Tetra-
eder
Okta-
eder
Würfel Dodeka-
eder
Ikosa-
eder
1)
4
8
6
12
20
2)
6
12
12
30
30
3)
4
6
8
20
12
4)
ca. 70°
ca. 110°
90°
ca. 118°
ca. 140°
5)

1) Anzahl der Flächen
2) Anzahl der Kanten
3) Anzahl der Ecken
4) Winkel zwischen benachbarten Flächen
5) Dualität:
Wenn man die Flächenmittelpunkte eines platonischen Körpers durch Kanten verbindet, und zwar immer die Mittelpunkte der Flächen, die eine Kante gemeinsam haben, dann entsteht ein anderer platonischer Körper, zum Beispiel aus dem Würfel das Oktaeder und aus dem Oktaeder der Würfel. Daher heißen Oktaeder und Würfel "dual" zueinander. Das Ikosaeder und das Dodekaeder sind ebenfalls dual zueinander; das Tetraeder ist dual zu sich selbst. Die Bilder zeigen Paare zueinander dualer Körper. Dabei ist der kleinere von beiden (derjenige, der durch Verbinden der Flächenmittelpunkte entsteht) so vergrößert, dass beide Partner genau zueinander passen: Jede Kante des einen Partners trifft genau in ihrer Mitte eine Kante des anderen Partners, und die beiden Kanten stehen senkrecht aufeinander.

Mit der Zeit wird die Tabelle noch anwachsen.

Kommentare und Anregungen sind stets willkommen, Ihr Christoph Pöppe.

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Folge 21: Fundamentalbereiche auf der Kugel und das Familienregister der Polyeder

28.03.04 | Von der Analyse zur Synthese: Über die Zerlegung eines symmetrischen Polyeders gewinnen wir ein Verfahren, eine zweiparametrige Schar ebenso symmetrischer Polyeder zu erzeugen.
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Folge 20: Symmetriegruppen

05.03.04 | Wie kann man die Regelmäßigkeit der mehr oder weniger regelmäßigen Polyeder mathematisch erfassen? Mit Hilfe der Gruppentheorie.
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Folge 19: Uniforme Polyeder

11.01.04 | Alle Flächen sind regelmäßige Vielecke, und alle Ecken sind gleich: Das ist eine bekannte Bedingung für platonische und archimedische Körper. Wir lassen nur eine weitere, unscheinbare Bedingung – die Konvexität – fallen und eröffnen damit eine große Schatzkiste neuer, sehr ansehnlicher Körper.
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Folge 18: Bonnie Stewarts Hohlkörper

11.11.03 | Aus dem reich gefüllten Baukasten, den Norman Johnson bereitgestellt hat, versteht Stewart die merkwürdigsten Körper zusammenzusetzen: durchbrochen wie Spitzendeckchen, aber streng nach der Regel, dass als Grenzflächen nur regelmäßige Vielecke zugelassen sind.
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Folge 17: Johnsons Polyeder

28.09.03 | Die interessanten unter ihnen sehen irgendwie schief aus. Aber ihre Seitenflächen sind so regelmäßig, wie es sich gehört.
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Folge 16: Wackelpolyeder und ein Lampenschirm

10.08.03 | Von einer Entdeckung, einer gescheiterten Analyse und einer gelungenen Konstruktion
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Folge 15: Origami-Polyeder

22.06.03 | Zur Verfügung steht nichts als einige quadratische Blätter Papier. Aber mit der entsprechenden Kunstfertigkeit lässt sich daraus das gesamte Standardprogramm der Polyeder falten.
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Folge 14: Versternungen

25.05.03 | Jede Fläche eines Polyeders gehört zu einer Ebene - aber zu der Ebene gehört nicht unbedingt nur diese eine Fläche. Das eröffnet neue Konstruktionsmöglichkeiten.
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Folge 13: Noch mehr Durchdringungen

27.04.03 | Es gibt viele Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubeschreiben. Jede dieser Möglichkeiten führt auf einen speziellen Durchdringungskörper.
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Folge 12: Durchdringungskörper

23.03.03 | Von alleine verfügen Würfel und Oktaeder gerade nicht über die fünfzählige Symmetrie. Aber fünf von ihnen, nach den Prinzipien der Fünfzähligkeit angeordnet, sind sehr ansehnlich.
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