Serie zur r�umlichen Geometrie

Diese Serie bringt jeden Monat einen neuen Spaziergang in die anschauliche und doch �berraschende Welt der dreidimensionalen Geometrie. Diesmal nutzen wir die frisch erworbenen Kenntnisse in der Gruppentheorie, um gro�e Mengen symmetrischer K�rper zu erzeugen.

Rechts�links, vorne�hinten, oben�unten: R�umliche Beziehungen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem einzuordnen, f�llt uns nicht schwer. Unser Vorstellungsverm�gen wird schon mehr gefordert, wenn es darum geht, Spiegelungen um irgendwie schr�g im Raum liegende Ebenen nachzuvollziehen oder einen sternf�rmigen K�rper in seine Bestandteile zu zerlegen. Etwas elementare Geometrie und, vor allem, Symmetrie�berlegungen werden uns dabei hilfreich sein.

Die "Serienhelden" sind die f�nf platonischen K�rper. Sie sind so symmetrisch wie �berhaupt nur m�glich. Deswegen haben sie unweigerlich bei jeder besonders sch�nen r�umlichen Anordnung ihre Finger im Spiel. Hier sind sie, zusammen mit einigen ihrer wesentlichen Eigenschaften:

	Tetra- eder	Okta- eder	W�rfel	Dodeka- eder	Ikosa- eder
1)	4	8	6	12	20
2)	6	12	12	30	30
3)	4	6	8	20	12
4)	ca. 70�	ca. 110�	90�	ca. 118�	ca. 140�

5)

1) Anzahl der Fl�chen
2) Anzahl der Kanten
3) Anzahl der Ecken
4) Winkel zwischen benachbarten Fl�chen
5) Dualit�t:
Wenn man die Fl�chenmittelpunkte eines platonischen K�rpers durch Kanten verbindet, und zwar immer die Mittelpunkte der Fl�chen, die eine Kante gemeinsam haben, dann entsteht ein anderer platonischer K�rper, zum Beispiel aus dem W�rfel das Oktaeder und aus dem Oktaeder der W�rfel. Daher hei�en Oktaeder und W�rfel "dual" zueinander. Das Ikosaeder und das Dodekaeder sind ebenfalls dual zueinander; das Tetraeder ist dual zu sich selbst. Die Bilder zeigen Paare zueinander dualer K�rper. Dabei ist der kleinere von beiden (derjenige, der durch Verbinden der Fl�chenmittelpunkte entsteht) so vergr��ert, dass beide Partner genau zueinander passen: Jede Kante des einen Partners trifft genau in ihrer Mitte eine Kante des anderen Partners, und die beiden Kanten stehen senkrecht aufeinander.

Mit der Zeit wird die Tabelle noch anwachsen.

Kommentare und Anregungen sind stets willkommen, Ihr Christoph P�ppe.

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Folge 21: Fundamentalbereiche auf der Kugel und das Familienregister der Polyeder

Von der Analyse zur Synthese: �ber die Zerlegung eines symmetrischen Polyeders gewinnen wir ein Verfahren, eine zweiparametrige Schar ebenso symmetrischer Polyeder zu erzeugen. » weiter

Folge 20: Symmetriegruppen

Wie kann man die Regelm��igkeit der mehr oder weniger regelm��igen Polyeder mathematisch erfassen? Mit Hilfe der Gruppentheorie. » weiter

Folge 19: Uniforme Polyeder

Alle Fl�chen sind regelm��ige Vielecke, und alle Ecken sind gleich: Das ist eine bekannte Bedingung f�r platonische und archimedische K�rper. Wir lassen nur eine weitere, unscheinbare Bedingung � die Konvexit�t � fallen und er�ffnen damit eine gro�e Schatzkiste neuer, sehr ansehnlicher K�rper. » weiter

Folge 18: Bonnie Stewarts Hohlk�rper

Aus dem reich gef�llten Baukasten, den Norman Johnson bereitgestellt hat, versteht Stewart die merkw�rdigsten K�rper zusammenzusetzen: durchbrochen wie Spitzendeckchen, aber streng nach der Regel, dass als Grenzfl�chen nur regelm��ige Vielecke zugelassen sind. » weiter

Folge 17: Johnsons Polyeder

Die interessanten unter ihnen sehen irgendwie schief aus. Aber ihre Seitenfl�chen sind so regelm��ig, wie es sich geh�rt. » weiter

Folge 16: Wackelpolyeder und ein Lampenschirm

Von einer Entdeckung, einer gescheiterten Analyse und einer gelungenen Konstruktion » weiter

Folge 15: Origami-Polyeder

Zur Verf�gung steht nichts als einige quadratische Bl�tter Papier. Aber mit der entsprechenden Kunstfertigkeit l�sst sich daraus das gesamte Standardprogramm der Polyeder falten. » weiter

Folge 14: Versternungen

Jede Fl�che eines Polyeders geh�rt zu einer Ebene - aber zu der Ebene geh�rt nicht unbedingt nur diese eine Fl�che. Das er�ffnet neue Konstruktionsm�glichkeiten. » weiter

Folge 13: Noch mehr Durchdringungen

Es gibt viele M�glichkeiten, einen platonischen K�rper in einen anderen einzubeschreiben. Jede dieser M�glichkeiten f�hrt auf einen speziellen Durchdringungsk�rper. » weiter

Folge 12: Durchdringungsk�rper

Von alleine verf�gen W�rfel und Oktaeder gerade nicht �ber die f�nfz�hlige Symmetrie. Aber f�nf von ihnen, nach den Prinzipien der F�nfz�hligkeit angeordnet, sind sehr ansehnlich. » weiter

Folge 11: Die Freuden der Zweisamkeit

Wie du mir, so ich dir: Die perfekte Gegenseitigkeit, formal mathematisch realisiert, macht aus mehr oder weniger regelm��igen K�rpern ebenso mehr oder weniger regelm��ige. » weiter

Folge 10: Archimedische K�rper

Diesmal geht es ganz allgemein um die etwas weniger regelm��igen, daf�r um so zahlreicheren Geschwister der platonischen K�rper: die archimedischen K�rper. » weiter

Folge 9: Stern- und Drachenk�rper

Diesmal erzeugen wir neue geometrische K�rper, indem wir � zum Beispiel � den platonischen K�rpern Zelte aufsetzen, und zwar so, dass deren Symmetrie weitgehend erhalten bleibt. » weiter

Folge 8: Neue K�rper entdecken - durch Entecken

Diesmal setzen wir an die bekannten platonischen K�rper das K�semesser an. Wenn wir das in ausreichend regelm��iger Weise tun, kommen wieder sehr regelm��ige K�rper heraus. » weiter

Folge 7: Unendliche Polyeder

Wer sagt denn, dass ein Vielfl�chner irgendwo aufh�ren muss? Neben Zusammensetzungen aus elementaren platonischen K�rpern geht es um Gebilde, die nur vollkommen regelm��ig sein k�nnen, indem sie sich bis ins Unendliche erstrecken. » weiter

Folge 6: K�rper aus lauter Dreiecken

Wenn man die �u�erst strengen Bedingungen, die f�r die platonischen K�rper charakteristisch sind, ein bisschen lockert, lassen sich unendlich viele neue Polyeder konstruieren, darunter ziemlich bizarre. » weiter

Folge 5: Die Rhomboeder-Bausteine des Albert G�beli

Ein Ingenieur aus Rapperswil hat eine v�llig neue Art von Baukl�tzen erfunden: schr�g, bizarr geformt und eine schwere Herausforderung an das r�umliche Vorstellungsverm�gen. » weiter

Folge 4: Die seltsamen Kristallkl�tzchen des Arthur Schoenflies

Kristalline Festk�rper bestehen aus periodischen Anordnungen von Atomen. Um ihren Aufbau zu verstehen, ist es hilfreich, in Gedanken an die Stelle der Atome kleine K�rper zu setzen, die den Raum l�ckenlos ausf�llen. Wie sehen diese Raumf�llerkl�tzchen aus? Versuchen wir die 100 Jahre alten Ideen... » weiter

Folge 3: Neue Raumf�ller

Wie machen es die Bienen? Ziemlich optimal, wenn es um ihre Waben geht. Ihre Bauweise k�nnte zu einer Aufteilung des gesamten Raums in lauter gleiche Zellen verallgemeinert werden, und das Design ist an Materialsparsamkeit kaum zu �bertreffen. Aber es gibt noch viele weitere Varianten des biederen... » weiter

Folge 2: Regelm��ige Raumf�llungen, Orangenh�ufchen und die Keplersche Vermutung

Ob man den Raum mit W�rfeln vollstapelt oder mit regelm��igen K�rpern, deren Grenzfl�chen Dreiecke sind - bei scharfem Hinsehen l�uft das auf dasselbe hinaus. » weiter

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