Wie hei�t die gr��te bekannte Zahl mit "praktischem" Nutzen?

a) Googol
b) Googolplex
c) Grahams Zahl
d) Mosers Zahl
e) Skewes' Zahl

Antwort:

Grahams Zahl ist die gr��te bisher in einem ernsthaften mathematischen Beweis vorkommende Zahl.

Erkl�rung:

Mit Grahams Zahl (G) l�sst sich die L�sung eines graphentheoretischen Problems absch�tzen (Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey). G ist jedoch so gro�, dass sich die Zahl nicht mehr einfach durch Potenzen ausdr�cken l�sst. Sie auf einem riesigen Blatt Papier zu notieren, daran ist �berhaupt nicht zu denken. Selbst wenn jegliche Materie im Universum als Tinte zur Verf�gung st�nde, w�rde diese nicht ausreichen, um Grahams Zahl komplett niederzuschreiben. Zur Darstellung der Zahl bedarf es der so genannten Pfeilschreibweise, die Donald Ervin Knuth im Jahre 1976 formulierte.

F�r beliebige m, n aus der Menge der nat�rlichen Zahlen gilt hierbei:

m · n = m + m + ... + m
m ↑ n = m · m · ... · m
m ↑↑ n = m ↑₂ n = m ↑ m ↑ ... ↑ m
m ↑↑↑ n = m ↑₃ n = m ↑↑ m ↑↑ ... ↑↑ m
.
.
.
usw., wobei auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens je n Exemplare von m auftauchen.

Grahams Zahl G ist nun rekursiv definiert:

G₁ = 3 ↑₄ 3 = 3 ↑↑↑↑ 3
G_n+1 = 3 ↑_{G_n} 3 = 3 ↑…↑3 (mit n = 1,... , 63).

Damit gilt G = G₆₄.

Auch f�r Mosers Zahl bedarf es einer speziellen Notation f�r besonders gro�e Zahlen, die 1950 von Hugo Steinhaus vorgeschlagen und sp�ter von Leo Moser erweitert wurde.

Dabei wird nⁿ f�r beliebige nat�rliche Zahlen n durch ein in ein Dreieck einbeschriebenes n abgek�rzt ("n im Dreieck"). Ein n in einem Quadrat steht entsprechend f�r n ineinander geschachtelte Dreiecke, ein n in einem F�nfeck f�r n ineinander geschachtelte Quadrate und so weiter.

Ein Polygon mit "2 im F�nfeck" Seiten bildet ein so genanntes Meganon - ein Polygon, das so viele Seiten hat, dass es eigentlich schon rund ist.

Mosers Zahl l�sst sich nun darstellen als "2 im Meganon".

Mit Skewes' Zahl kommen wir langsam wieder in Gefilde, die uns vertrauter sind. Zwar ist diese Zahl auch noch riesig, sie l�sst sich aber vergleichsweise leicht in Potenzschreibweise darstellen:

S = e^{e^e⁷⁹} ≈ 10^{10^10³⁴}.

Skewes' Zahl spielt bei der Verteilung von Primzahlen eine Rolle und dient als obere Schranke in einem Beweis.

Die Zahl Googol geht auf den damals neunj�hrigen Milton Sirotta zur�ck, der im Jahre 1938 von seinem Onkel Edward Kasner nach einem Namen f�r eine unvorstellbare Zahl gefragt wurde. Ein Googol ist die Zahl 10¹⁰⁰. Kasner setzte dem noch einen drauf, und nannte 10^Googol also 10^10¹⁰⁰ Googolplex.

Die beliebte Suchmaschine Google soll �brigens ihren Namen von dem Wort ableiten - schlie�lich soll eine kaum vorstellbare Zahl von Internetseiten �ber den Suchdienst auffindbar werden. Verglichen mit Grahams Zahl nehmen sich Googol oder Googolplex jedoch eher winzig aus.

Links zum Thema:
Grahams Zahl
Pfeilschreibweise
Ramsey-Theorie
Steinhaus-Moser-Notation
Schreibweise f�r gro�e Zahlen
Googol