Astro-Lexikon H 3

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Begriff und Historie

Ein fundamentales Diagramm in der Stellarphysik, abgekürzt HRD, in dem in einer zweidimensionalen Auftragung die Leuchtkraft eines Sterns über dessen Effektivtemperatur oder alternativ über dem Spektraltyp dargestellt ist. Es ist zu beachten, dass in der Darstellung üblicherweise die höchste Temperatur bzw. der heißeste Spektraltyp (O) ganz links ist! Historisch geht das HRD auf die Astronomen Ejnar Hertzsprung (1873 - 1967) und Henry Noris Russel (1877 - 1923) zurück, die allerdings andere stellare Zustandsgrößen verwendeten (die zu den oben genannten proportional sind und daher das HRD in seiner Gestalt nicht verändern), nämlich absolute, visuelle Helligkeit über Farbindex (z.B. B-V, Differenz aus Helligkeit im blauen und visuellen Frequenzband). Heute nennt man diese ursprüngliche Darstellung Farben-Helligkeitsdiagramm (FHD).
Das HRD ist ein Zustandsdiagramm, das Auskunft über den Entwicklungszustand eines Sterns gibt. Damit ist es wesentliches Werkzeug der Sternentwicklung. Man kann aus der Position eines Sterns im HRD ziemlich eindeutig seinen Zustand charakterisieren und somit Sterne klassifizieren. Es gibt z.B. eindeutig zugeordnete Gebiete im HRD für

• Protosterne,
• Rote Riesen,
• Rote Zwerge,
• Weiße Zwerge,
• Pulsationsveränderliche wie den Cepheiden, und RR Lyrae-Sternen
• und für typische Vertreter der Yerkes-Leuchtkraftklassen.

Hauptreihe, Instabilitätsast, Hayashi-Linie

Vor allem aber gibt es eine charakteristische Linie, die von besonders vielen Sternen bevölkert wird: die Hauptreihe (engl. main sequence). Hier befinden sich Sterne im hydrostatischen Gleichgewicht. Gerade entstandene Sterne, die Protosterne und YSOs, zünden die Fusionsreaktionen und wandern auf die Hauptreihe. Man nennt sie daher Alter-Null-Hauptreihensterne oder ZAMS-Sterne (ZAMS: Zero-age Main Sequence). Die Sonne ist ebenfalls ein typischer Hauptreihenstern. Die Stellarphysiker können mit einfachen Modellen viele Eigenschaften von Sternen ableiten und z.B. Masse-Radius-Beziehungen, Masse-Leuchtkraft-Beziehungen oder Masse-Temperatur-Beziehungen bestimmen. Sie belegen, dass die Masse, der etwa von rechts unten nach links oben verlaufenden Hauptreihe im HRD nach links zunimmt: hellere Hauptreihensterne sind also auch (wie man auch sofort naiv annehmen würde) schwerer.
Nun kann man hervorragend Entwicklungspfade im HRD nachzeichnen und bekommt so eine Vorstellung davon, wie sich Sterne im Laufe ihres 'Lebens' entwickeln. Es stellt sich heraus, dass der wesentliche Parameter der Sternentwicklung die Sternmasse ist. Sie bestimmt die Zentraltemperatur im Sterninnern und regelt die thermonuklearen Fusionsprozesse. Letztendlich bestimmen gerade diese Prozesse das Schicksal am Ende der Sternentwicklung.
Weitere charakteristische Linien im HRD sind der Instabilitätsast, den pulsierende Sterne wie die Cepheiden und RR Lyrae-Sterne besiedeln und die Hayashi-Linie. Letztere markiert voll konvektive Sterne, die nur in ihrer Randregion radiativ sind, d.h. Energie durch Strahlung transportieren, und nur durch ihre Masse und chemische Zusammensetzung charakterisiert sind. Die Hayashi-Linie repräsentiert eine steile Linie im HRD, die näherungsweise von rechts oben nach links unten verläuft. Sie ist nur numerisch berechenbar und wurde von dem japanischen Astronomen C. Hayashi entdeckt. Rechts von der Hayashi-Linie ist kein Stern im hydrostatischen Gleichgewicht möglich. Die jungen, noch kontrahierenden Protosterne sind in diesem Bereich zu finden.

Massearme Sterne

Massearme Sterne, wie die Sonne, können ihren Zustand recht lange beibehalten und haben typische Lebensdauern im Bereich von Milliarden Jahren. Im Innern läuft vor allem die pp-Reaktion ab, eine Fusion von Wasserstoffkernen zu Heliumkernen. Marginal relevant ist der CNO-Zyklus, der ebenfalls im Wesentlichen Helium produziert. Nach einer Phase des Aufblähens zu einem Roten Riesen, steht am Ende der Sternentwicklung massearmer Sterne ein Kompaktes Objekt: ein Weißer Zwerg.

Massereiche Sterne

Hingegen haben massereiche Sterne kürzere Lebensdauern von einigen Millionen Jahren. Sie sind so heiß, dass zahlreiche Prozesse in ihren Schalen ablaufen (Schalenbrennen) und sie viel schwerere Elemente bis maximal zum Element Eisen (Ordnungszahl 26) fusionieren können. Noch schwerere Elemente können nur in den r-Prozessen und p-Prozessen der Supernovae Typ II oder in den s-Prozessen bei so genannten AGB-Sternen gebildet werden.

Das Hierarchieproblem bezeichnet das experimentell abgesicherte Phänomen, dass die Stärken der vier fundamentalen Naturkräfte (mathematisch dargestellt durch die Kopplungskonstante der jeweiligen Kraft) nicht vergleichbar groß sind. Genauer gesagt ist die Gravitation deutlich schwächer als die anderen drei Wechselwirkungen, nämlich die starke, schwache und elektromagnetische Kraft. Das ist nicht einzusehen und scheint eine Sonderrolle der Gravitation widerzuspiegeln.
Das Hierarchieproblem manifestiert sich in einer gleichwertigen Formulierung darin, dass die Planck-Skala, diejenige Skala, wo Quanteneffekte der Gravitation wichtig werden, mit 10¹⁹ GeV deutlich über der Energieskala der elektroschwachen Theorie, 100 GeV bis 1 TeV, liegt.

Lösung des Hierarchieproblems?

Die Hochenergiephysiker haben zahlreiche Modelle vorgeschlagen, die diesen Missstand beheben bzw. das Hierarchieproblem lösen sollen. Alle diese Modelle involvieren räumliche Extradimensionen, in die die Gravitation einzudringen vermag, aber nicht die anderen Felder des Standardmodells (SM) der Teilchenphysik. Die Theoretiker sagen: SM-Felder seinen beschränkt auf die Bran. Gravitation in höheren Dimensionen - das bedeutet, es handelt sich um modifizierte Gravitationstheorien (engl. modified gravity), wie beispielsweise das ADD-Szenario, die Randall-Sundrum-Modelle oder das DGP-Szenario.
Das Hierarchieproblem kann zwar durch diese neuen Gravitationstheorien erklärt werden, aber die Crux ist, dass die Existenz von Extradimensionen bislang nicht experimentell bestätigt werden konnte. Das könnte entweder daran liegen, weil der zusätzliche Raum auf zu kleinen Längenskalen kompaktifiziert ist oder weil es gar keine höheren Dimensionen gibt! Diese Unsicherheiten treiben die Forscher an, sowohl weitere Modelle zu entwickeln, als auch nach immer ausgefeilteren, experimentellen Tests der Extradimensionen zu suchen. Sensationelle Meldungen werden diesbezüglich vom Superbeschleuniger LHC am CERN erwartet, der Ende 2007 angeschaltet wird.

Das Higgs-Teilchen oder Higgs-Feld wurde nach dem britischen Physiker Peter W. Higgs benannt, der dessen Existenz bereits 1964 prognostizierte. Es handelt sich um ein elektrisch neutrales Austauschboson mit Spin 0 (also einem Skalarfeld), dessen Masse sehr hoch sein muss. Experimentell ließ sich die Massengrenze oberhalb von 114 GeV (LEP-Experiment am CERN) einordnen. Zum Vergleich: die Nukleonen im Atomkern, Proton und Neutron, haben eine Masse von etwa 1 GeV.

Der Higgs-Mechanismus

Das hypothetische Higgs-Teilchen hat eine wichtige Funktion im Teilchenzoo der Physik: Im Higgs-Mechanismus stattet das Higgs-Feld, das sich unendlich im Raum erstreckt, die Teilchen mit Masse aus. Es handelt sich um eine spontane Symmetriebrechung, die wie folgt abläuft: Das Higgs-Boson koppelt an sämtliche Teilchen, d.h. es kann mit jedem Teilchen wechselwirken. Dabei ist die Stärke dieser Kopplung proportional zur Masse des Teilchens. Dadurch dass das Higgs-Boson nun an alle Teilchen koppelt, verschafft es ihnen Schwere: die Teilchen erhalten eine Masse.

Symmetrie bricht, Teilchenmasse da

Die meisten Teilchen, die Physiker beobachten, haben eine Masse. Der Higgs-Mechanismus hat also offensichtlich schon stattgefunden. Genauer: Die Symmetriebrechung muss bei einer höheren Temperatur, als diejenige die für unsere Umgebung typisch ist, stattgefunden haben. Im Higgs-Modell nimmt man nun an, dass die Symmetrie bei einer kritischen Temperatur gebrochen wurde und in eine Aufspaltung in die bekannten vier Naturkräfte ('Tetralogie der Kräfte') gemündet habe.

Die vier fundamentalen Wechselwirkungen heißen

• Gravitation,
• elektromagnetische Wechselwirkung,
• Schwache Wechselwirkung
• und Starke Wechselwirkung.

Aber das war nicht immer so...

Oberhalb der kritischen Temperatur wird die Symmetrie restauriert und es gibt nur zwei Naturkräfte: X-Kraft und Gravitation. Die Großen Vereinheitlichten Theorien (GUT) beschreiben, wie die Symmetrie zwischen elektromagnetischer, schwacher und starker Kraft im Rahmen einer SU(5)-Gruppentheorie hergestellt werden kann. Die GUT-Skala ist sehr nahe an der fundamentalen Planck-Skala: typische Energien liegen im Bereich von 10¹⁶ GeV, was gemäß E = kT (k: Boltzmann-Konstante) Temperaturen von 10²⁹ Kelvin entspricht. Das ist ein recht unangenehmes Milieu für Leben und sie war - so die gängige Auffassung in der modernen Kosmologie - im sehr frühen Universum realisiert (GUT-Ära).

Festkörper wiesen den Weg

Das Konzept, das heute Higgs-Mechanismus genannt wird, wurde von Higgs aus der Festkörperphysik übernommen. Im Festkörper gibt es ein Gitter aus positiv geladenen Atomrümpfen, die das Gitter des Festkörpers bilden. Bewegt sich nun ein Elektron durch das Gitter, so wird dessen effektive Masse signifikant gegenüber der eines freien Elektrons erhöht, weil das Elektron vom positiven Gitter angezogen wird. Das Elektron wird schwerer!
Auf analoge Weise soll das Higgs-Teilchen den schweren W⁺-, W^-- und dem Z-Teilchen, den Weakonen der schwachen Wechselwirkung, ihre Masse verleihen, nur nicht dem (ruhe-)masselosen Photon. Die hohen Massen der intermediären Eichbosonen W⁺, W^- und Z motivieren stark die Existenz des Higgs-Bosons in der Teilchenphysik.

gespenstisches Higgs-Teilchen

Gemäß der quantenmechanischen Energie-Zeit-Unschärfe nach Werner Heisenberg ist mit einer hohen Masse eines Teilchens eine kurze Lebensdauer assoziiert, und gerade das macht den Nachweis des Higgs-Teilchens so schwierig. Aus diesem Grund könnte man das Higgs-Teilchen auch Geistteilchen (engl. ghost) nennen, weil es kaum in Erscheinung tritt. Historisch geht die Bezeichnung 'Geistteilchen' auf Abdus Salam zurück, der eine anschauliche Interpretation des Higgs-Mechanismus beschrieb (sinngemäß): 'Teilchen verleiben sich Higgs-Bosonen ein, um an Masse zu gewinnen und zurück bleiben nur die Geister der Higgs-Teilchen.' Eine andere Bezeichnung ist das 'Teilchen Gottes', weil ihm die tragende Rolle bei der Vergabe der Masse zukommt.

Noch keine experimentelle Bestätigung!

Es ist das letzte Teilchen im Standardmodell der Teilchenphysik, dessen experimenteller Nachweis fehlt! Die Ergebnisse des Fermilab sowie des CERN, wenn der neue Teilchenbeschleuniger LHC im Ende 2007 steht, bleiben mit Spannung abzuwarten. Nur sie dringen in den interessanten Energiebereich des Higgs-Teilchens vor.

SUSY macht mehr Higgs-Teilchen

Die Supersymmetrie (SUSY) stellt eine Erweiterung des Standardmodells dar. Sie prognostiziert weitere Teilchen, so genannte Superpartner, zu den beobachteten Teilchen. Diese Erweiterung betrifft auch das Higgs-Teilchen. Unter Berücksichtigung der Supersymmetrie gibt es nicht nur ein Higgs-Teilchen, sondern fünf Higgs-Teilchen: drei elektrisch neutrale und zwei elektrisch geladenen Higgs-Teilchen. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell (MSSM) sagt sogar eine Maximalmasse der Higgs-Teilchen voraus, die bei etwa 130 GeV liegt. Zusammen mit der experimentell am CERN verifizierten Minimalmasse von 114 GeV bleibt dem Higgs-Feld nur ein schmaler Massenbereich, den die Physiker an der Generation kommender Teilchenbeschleuniger genau sondieren werden. Möglicherweise steht Verifikation oder Falsifikation kurz bevor!

Verallgemeinerung zu Nambu-Goldstone-Bosonen

Der Higgs-Mechanismus ist immer mit einer spontanen Symmetriebrechung (SSB) verbunden. Bei diesen Brechungen der Symmetrie treten aber auch immer so genannte topologische Defekte (domain walls, kosmische Strings, magnetische Monopole etc.) auf. Der Higgs-Apparat ist jedoch weit verbreiteter in der Natur, als nur in der Festkörperphysik und Teilchenphysik. Dieses fundamentale Konzept wurde bereits in vielen anderen Disziplinen angewendet. So kann man in der Kosmologie (Phasenübergang im frühen Universum) und Quantenchromodynamik (Peccei-Quinn-Symmetrie) Symmetriebrechungen finden, die immer mit einem skalaren Higgs-Feld beschrieben werden können. Man nennt diese mit dem Feld assoziierten Teilchen dann allgemeiner Nambu-Goldstone-Bosonen. Das Higgs-Teilchen ist demnach nur eine spezielle Realisierung eines Nambu-Goldstone-Bosons.

Symmetriebrechung anschaulich

Die Theoretiker betrachten in der Regel ein skalares Higgs-Feld, das mit dem Higgs-Potential assoziiert ist. Das Skalarfeld im Raum- und Zeitpunkt nimmt eine bestimmte Feldenergie an, die gerade diesem Higgs-Potential entspricht. Skalarfelder sind lorentzinvariant, d.h. sie haben die angenehme Eigenschaft sich unter Lorentz-Transformationen nicht zu verändern: Jeder Beobachter misst den gleichen Wert für dieses Feld, unabhängig davon, wo er sich befindet oder wie schnell er sich bewegt. Der Wertebereich dieses Feldes kann wiederum reell, komplex, vektor- oder matrixwertig sein. Das Entscheidende ist, dass sich die Vakuumzustände des Feldes am Boden der Potentialmulde befinden - analog zu stabilen Gleichgewichtslagen in der klassischen Mechanik.

Die Abbildung oben (große Version) illustriert den Potentialverlauf für ein reelles Higgs-Potential, parametrisiert durch die Temperatur. Die Vakuumzustände hängen von einer kritischen Temperatur ab, bei der gerade die Symmetriebrechung stattfindet (rote Kurve). Oberhalb dieser Temperatur existiert eine höhere Symmetrie: es existiert nur ein globales Minimum, nämlich dort, wo das Feld verschwindet (blaue und violette Kurven). Unterhalb der kritischen Temperatur hingegen ist diese Symmetrie gebrochen: das globale Minimum wird zum lokalen Maximum und sowohl links als auch rechts davon treten zwei neue globale Minima auf (grüne Kurve). Eine Kurvendiskussion (Analysis einer Veränderlichen) liefert die parametrisierten Koordinaten der Extrema und Wendepunkte und die Gleichung für die kritische Temperatur (siehe Gleichung links). An der Abbildung sieht man auch, dass der Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes (Moduli), der gerade mit der Potentialmulde assoziiert ist, nach der Symmetrieberechung absinkt. Denn das Feld wird jede Fluktuation ausnutzen, um von dem Potentialberg (instabile Gleichgewichtslage) 'abzurutschen' und in eines der beiden Minima zu gleiten, die stabile Zustände sind. Das ist eine wunderbare Analogie zu Gleichgewichtslagen in der klassischen Mechanik!

Und wer's komplex mag...

Die komplexe Erweiterung dieses Potentials kann einfach durch Rotation der Funktion um die y-Achse (Ordinate) generiert werden. Die entsprechende Potentialfläche hat die Gestalt eines mexikanischen Sombrero-Hutes, weshalb auch die englische Bezeichnung Mexican hat potential für das komplexe Higgs-Potential gebräuchlich ist. Die beiden Vakuumzustände unterhalb der kritischen Temperatur degenerieren dann. Man sagt: die Vakuum-Mannigfaltigkeit (Moduli-Raum, engl. Moduli space) ist ein Kreis. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird die Basisfläche durch den Real- und Imaginärteil des Feldes aufgespannt. Die Vakuumzustände auf dem Kreis können durch einen Phasenwinkel parametrisiert werden. Die Rotationssymmetrie für komplexwertige Higgs-Felder nennt man U(1)-Symmetrie, gemäß der Gruppentheorie.

Anknüpfung an die Kosmologie

Diese mathematischen Eigenschaften des reellen Higgs-Potentials interpretiert man kosmologisch folgendermaßen: Kurz nach dem Urknall herrschten sehr hohe Temperaturen oberhalb der GUT-Skala von 10²⁹ K. Das Higgs-Feld nahm im gesamten Raum den Wert null an, weil die Symmetrie noch nicht gebrochen war (entsprechend einem globalen Minimum). Durch die Expansion des heißen Feuerballs kühlte dieser langsam ab, die Temperatur sank und näherte sich der kritischen GUT-Temperatur. Dann setzte der Phasenübergang ein: die Symmetrie wurde spontan gebrochen. Das reelle Higgs-Feld hat nun zwei mögliche Vakuumerwartungswerte, das komplexe sogar mehr, die sich durch einen Phasenwinkel unterscheiden. Das 'Spontane' an der Symmetriebrechung ist, dass a priori nicht klar ist, welchen der beiden Vakuumwerte das reelle Higgs-Feld annehmen wird. Dies unterliegt einer statistischen Verteilung. Das 'Springen' des Vakuumerwartungswertes des Higgs-Feldes von null auf einen endlichen Wert treibt gerade die Inflation an, eine exponentielle Expansion des Universums. Weil diese Ausdehnung schneller als das Licht sein kann, können voneinander kausal entkoppelte Gebiete entstehen, die verschiedene Erwartungswerte für das Vakuum haben.

Der falsche Hase des Nichts

Das Problem ist nun, dass das Higgs-Feld eine stetig differenzierbare Funktion ist, also keine Unstetigkeiten in Form von 'Sprüngen' aufweisen darf. Zwischen zwei verschiedenen Erwartungswerten muss es demzufolge Gebiete geben, die verschwindendes Higgs-Feld haben, aber (im Gegensatz zum globalen Minimum oberhalb der kritischen Temperatur) endliches Higgs-Potential. Diese Gebiete heißen falsches Vakuum. Der endliche Erwartungswert für das Vakuum impliziert lokal eine endliche Energie, die eingeschlossen ist. Physiker nennen sie auch domain walls, die ein Beispiel für topologische Defekte darstellen. In drei Dimensionen trennen sie unterschiedliche Vakua voneinander. Ihr Feldverlauf entspricht mathematisch dem Tangens Hyperbolikus, der in der nächsten Abbildung illustriert ist:

Die beiden unterschiedlichen Niveaus links und rechts entsprechen den unterschiedlichen Vakua zwischen denen die domain walls vermitteln. Leider beobachteten die Astronomen diese domain walls bislang nicht.

Werden Gravitationswellen helfen?

Im Zuge dessen führte man das komplexe Higgs-Feld ein (das man sich aus zwei reellen Higgs-Felder zusammengesetzt denken kann, Real- und Imaginärteil). In dieser Erweiterung treten ebenfalls topologische Defekte auf: die kosmischen Strings (die nicht mit den Strings der Stringtheorien zu verwechseln sind!). Sie weisen eine andere Topologie als domain walls auf und bestehen ebenfalls aus Einschlüssen des falschen Higgs-Vakuums. Mathematisch gesprochen handelt es bei den kosmischen Strings um eindimensionale Vertex-Linien. In dessen Kernen verschwindet zwar das Higgs-Feld, aber da die Gebilde ausgedehnt sind (entweder geschlossen oder unendlich lange) kann man sich vorstellen, dass sie einen nicht unerheblichen Teil an Feldenergie gespeichert haben. Weil die Theoretiker außerdem annehmen, dass die Strings oszillieren, müssen sie auch Gravitationswellen aussenden. Das macht dieses Szenario wieder interessant für die Astronomen, nämlich für die in den letzten Jahren mächtig vorangetriebenen Gravitationswellendetektoren.

andere kosmische Saiten aufziehen

1976 wurde erstmals von T.W.B. Kibble in Erwägung gezogen, dass kosmische Strings eine Bedeutung für die Entwicklung des Universums haben könnten. Kosmische Strings bilden ein Netzwerk aus und wechselwirken miteinander durch Interkommutation. Damit bezeichnet man einen Austausch von Stringstücken, wenn sich kosmische Strings nahe genug kommen. Diese Wechselwirkung und auch die Expansion der Raumzeit, auf dessen Hintergrund die Strings 'mitschwimmen', führen zu einem allmählichen Aufzehren der im String gespeicherten Feldenergie. Dieser Zerfall führt - so vermuten Kosmologen - letztendlich zu einem Verschwinden kosmischer Strings, so dass in unserem lokalen Universum nur wenige - wenn überhaupt - vorhanden sein dürften. Der Durchmesser der kosmischen Strings liegt nur drei Größenordnungen über der Planck-Länge, bei etwa 10^-30 cm. Die Energie, die ein Kilometer String enthält, ist enorm und beträgt etwa 10⁵⁰ GeV.
Sollte es sie im frühen Universum gegeben haben, könnten sie für die Strukturbildung entscheidend gewesen sein. Sowohl Beobachtung als auch numerische Simulation zeigen filament- und wabenartige Strukturen, die aus Galaxien und Galaxienhaufen bestehen. Vielleicht waren die die Netzwerke kosmischer Strings als Relikte einer Symmetriebrechung die Kondensationskeime für die Galaxien? Man kann auch darüber spekulieren, dass an kosmischen Strings superkritische Brill-Wellen emittiert wurden, die zur Bildung der ersten Generation Schwarzer Löcher führten, die danach durch Akkretion wuchsen und zu den heute paradigmatisierten supermassereichen Schwarzen Löchern wurden. Aber das ist eine sehr gewagte und unkonventionelle Hypothese.

Literaturquellen:

• A. Rajantie, Defect formation in the Early Universe, astro-ph/0307387 (2003),
• Franz Embacher, Kosmische Strings (1994)

Der Hilbert-Raum ist an sich sehr abstrakt mathematisch definiert und fällt in das Gebiet der Funktionalanalysis. Die Funktionalanalysis ist im Wesentlichen der mathematische Unterbau der Quantentheorie. Unendlichdimensionale Räume und Operatoren erfahren hier ihre formale Definition.

zuerst der Vektorraum

Um zu verstehen, was ein Hilbert-Raum ist, muss man zunächst den Begriff Vektorraum klären. Ein Vektorraum genügt speziellen Axiomen, wie Addition und Vielfachbildung der Elemente, die im Vektorraum liegen. Dann nennt man die Menge einen Vektorraum, wenn Distributiv-, Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten und ein Nullelement sowie ein inverses Element existieren. An einem dreidimensionalen Vektor kann man sich diese Eigenschaften leicht klar machen.

Erklärung in mathematischer Sprache

Der Hilbert-Raum ist nun ein bestimmter Vektorraum, der ein Skalarprodukt besitzt. Dazu muss er unitär und vollständig sein. Ein Raum ist unitär, wenn man auf ihm eine Norm definieren kann, so dass die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung gilt. Ist der Vektorraum vollständig, aber nicht unitär, heißt er Banach-Raum.

etwas anschaulicher...

Diese Eigenschaften vermitteln nur eine abstrakt-formale Vorstellung von einem Hilbert-Raum. Um konkreter zu werden: Hilbert-Raum nennt man in der Quantentheorie denjenigen Vektorraum, der von sämtlichen Quantenzuständen der Theorie (Wellenfunktionen) aufgespannt wird. Im Allgemeinen betrachtet man nicht den kompletten Hilbert-Raum, sondern nur einen Unterraum, der gerade relevant ist für das physikalische Problem. So ist der Hilbert-Raum des Spins des Elektrons zweidimensional, also recht simpel. Das liegt daran, weil dieser Hilbert-Raum nur von zwei Quantenzustände des Elektrons aufgespannt wird: 'Spin nach oben' (spin-up) oder 'Spin nach unten' (spin-down). Andere Quantensysteme sind im Allgemeinen komplizierter und weisen mehr Quantenzustände auf. Dann wird auch der Hilbert-Raum komplexer. In der Loop-Quantengravitation beispielsweise wird der Hilbert-Raum von den Loops aufgespannt. Alternativ wurden als orthonormale Basiszustände die Spin-Netzwerke gefunden.

Eine Hintergrundmetrik ist eine Raumzeit (= Metrik) in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART), die sich nicht verändert und in diesem Sinne wie ein unveränderlicher Hintergrund fungiert. Die Raumzeit bleibt einfach wie sie ist.

Geht das?

Eigentlich verbietet die mathematische Struktur der ART eine solche Hintergrundmetrik, denn wie aus den Einsteinschen Feldgleichungen hervorgeht, beeinflusst jede Energieform die Dynamik der Raumzeit, weil sie als Masse die Raumzeit lokal krümmt. Die ART ist also hintergrundunabhängig oder wie es hochtrabend ausgedrückt wird diffeomorphismusinvariant.
Andererseits kann man in bestimmten Fällen 'ein Auge zudrücken': Stellen wir uns ein Photon vor, das sich unschuldig in der Nähe eines Schwarzes Lochs bewegt. Lokal krümmt die Energie des Photons sicher die Raumzeit - der Effekt ist jedoch so klein, dass es zulässig ist, die Bewegung des Photons approximativ (näherungsweise) vor dem Hintergrund der Metrik des Schwarzen Loches zu beschreiben.

Einsatzgebiete von Hintergrundmetriken

In der numerischen Relativitätstheorie, z.B. in Simulationen zur Hydrodynamik oder Magnetohydrodynamik ist es üblich und sogar weit verbreitet, die Bewegung der Flüssigkeit (Fluidum) vor einer Hintergrundmetrik zu formulieren. Die Metrik bleibt wie sie ist. So ist es in Ordnung, die Ausbreitung relativistischer Jets von Aktiven Galaktischen Kernen im Rahmen einer speziell relativistischen Hydrodynamik/Magnetohydrodynamik (SRHD, SRMHD) mit der Minkowski-Metrik als Hintergrund zu beschreiben. Der Fehler ist gering, weil der optisch dünne Jet kaum die Raumzeit deformiert. Ein Jet ist eben weit davon entfernt, eine kompakte Masse zu sein.
Ähnlich verhält es sich in GRMHD-Simulationen, z.B. Akkretionsflüssen, die sich in der Umgebung Schwarzer Löcher bewegen. Die Lochmetrik ist üblicherweise eine Hintergrundmetrik.
Auch in Stringtheorien werden Strings und Branen vor Hintergrundmetriken beschrieben, so dass die Stringtheorien nicht diffeomorphismusinvariant sind.

Extreme, wo Hintergrundmetriken versagen

Im Allgemeinen muss die Rückwirkung der Massen/Energien auf die Raumzeit berücksichtigt werden. Die Relativisten sprechen in diesem Fall explizit auch von dynamischen Raumzeiten. Extreme Beispiele dynamischer Raumzeiten sind Paare aus Neutronensternen (engl. binary pulsars) oder aus Schwarzen Löchern, der Gravitationskollaps massereicher Sterne in Supernovae oder Hypernovae, Gamma Ray Bursts, die Akkretion einer massereichen, dicken Materiescheibe (z.B. Torus) auf ein kompaktes Objekt.

Lösung: anspruchsvolle Computercodes

Es gibt bereits numerische Codes, die die Entwicklung dynamischer Raumzeiten berechnen können. Ein modernes Beispiel ist der GRMHD-Code von Duez, Liu, Shapiro & Stephens, Phys. Rev. D 72, 024028, 2005, der das volle Einstein-Maxwell-Gleichungssystem in Achsensymmetrie löst und die Zeitentwicklung einer Anfangsmetrik ausrechnet. Dabei bilden sich wohl bekannte Störungen in der Raumzeit aus, die sich wellenförmig fortpflanzen: Gravitationswellen. Sie vermitteln gerade die Dynamik der Raumzeit.
Solche Codes ermöglichen das Studium interessanter, astrophysikalischer Fragestellungen auf völlig neuem Terrain. Der Vergleich mit astronomischen Beobachtungen zeigt, ob die Vorstellungen der Simulatoren richtig ist und ihr Code funktioniert.

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© Andreas Müller, August 2007

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