Astro-Lexikon M 3

M
A-Z

Der Maxwell-Tensor ist ein Tensor und damit ein Objekt von Einsteins Relativitätstheorie. Dieser Tensor heißt auch elektromagnetischer Feldstärketensor und ist eingebettet in eine kovariante Formulierung der Elektrodynamik, d.h. die klassische Maxwellsche Theorie wurde relativistisch verallgemeinert.

Wie sieht so ein Tensor aus?

Der Maxwell-Tensor wurde oben als Matrix dargestellt. Wie man sieht enthält er sowohl Komponenten des elektrischen Feldes (E), als auch des Magnetfeldes (B). Die Indizes x,y,z stehen dabei für die drei Raumrichtungen in kartesischen Koordinaten. Die Kenner der Matrizen sehen auch, dass der Maxwell-Tensor offensichtlich nicht symmetrisch ist: spiegelt man die Komponenten des Tensors an der Hauptdiagonalen, so erhält man zwar die gleiche Komponente des Feldes, aber umgekehrtes Vorzeichen. In Einsteins Theorie schreibt man das kompakt so: F_μν = - F_νμ.

Aus 4 mach 2

Der Maxwell-Tensor bündelt also in kompakter Schreibweise die Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes. Damit ermöglicht er eine sehr elegante und kompakte kovariante Schreibweise der vier Maxwellschen Gleichungen der klassischen Elektrodynamik. Im Vakuum und in einer flachen Raumzeit, also für die Minkowski-Geometrie der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) reduzieren sich die Maxwellschen Gleichungen auf zwei Gleichungen, wie in der Abbildung links dargestellt.

Elektrodynamik in gekrümmten Raumzeiten

In der Allgemeinen Relativitätstheorie konstituiert dieser Tensor zusammen mit dem metrischen Tensor den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Tensors. Damit wird eine Behandlung der Elektrodynamik in gekrümmten Raumzeiten möglich. Es resultieren dann die so genannten Einstein-Maxwell-Gleichungen. Als Lösungen dieser Nicht-Vakuum-Feldgleichungen kennt man eine statische, elektrische Punktladung, die Reissner-Nordstrøm-Lösung, und eine rotierende, elektrische Ringladung, die so genannte Kerr-Newman-Lösung. Letztere repräsentiert eine sehr allgemeine Form von Schwarzes Löchern 'mit den meisten Haaren' (vergleiche Keine-Haare-Theorem). Es weist die physikalischen Eigenschaften Masse, Drehimpuls und elektrische Ladung auf.

relativistische Astrophysik: SRMHD & GRMHD

Der Maxwell-Tensor wird ebenfalls benötigt, wenn die Astrophysiker Plasmen beschreiben wollen und dabei relativistische Effekte voll berücksichtigen wollen. In der flachen Raumzeit der SRT heißt dieses Forschungsfeld Speziell Relativistische Magnetohydrodynamik, (special relativistic magnetohydrodynamics, SRMHD). Forschungsgegenstand sind dann z.B. die fast lichtschnellen Jets von radiolauten Quasaren und Radiogalaxien (also von Aktiven Galaktischen Kernen). Diese extrem schnellen Materieströmungen werden mit aufwendigen Berechnungen auf Supercomputern simuliert.
Geht man zu den gekrümmten Raumzeiten über, so sprechen die Astrophysiker von Allgemein Relativistischer Magnetohydrodynamik, (general relativistic magnetohydrodynamics, GRMHD). Forschungsgegenstand ist dann beispielsweise die unmittelbare Umgebung eines Schwarzen Loches, wo die Wechselwirkung des Loches mit (als Flüssigkeit beschriebene) Materie und Akkretion untersucht werden.

Das Membran-Paradigma (engl. membrane paradigm) ist ein Modell, das auf den Ereignishorizont Schwarzer Löcher angewendet werden kann. Insbesondere bei der Elektrodynamik und Magnetohydrodynamik Schwarzer Löcher ist diese Sichtweise erfolgreich.

Väter des Membran-Paradigmas

Das Membran-Paradigma geht in seinen Anfängen auf Richard Hanni und Remo Ruffini zurück (1971). Sie erkannten, dass der äußere Horizont eines Schwarzen Loches (r₊) wie eine elektrisch leitende Kugelschale aufgefasst werden kann.

Wie geht das?

Man kann sich das so veranschaulichen: In einer Versuchsanordnung der klassischen Elektrostatik nähert man elektrisch positive Ladung einer ruhenden, neutralen Metallkugel. Dabei werden die beweglichen Ladungsträger in der Kugel, die Elektronen, in denjenigen Bereich der Kugelschale gezogen werden, der der äußeren positiven Ladung am nächsten ist, weil sich ungleichnamige Ladungen anziehen. Es findet also in der Metallkugel eine Ladungsumverteilung statt, anders gesagt: Die Metallkugel wird polarisiert.
Berechnet man nun die elektrischen Feldlinien einer elektrischen Punktladung im starken Gravitationsfeld eines Schwarzen Loches, so wird die Feldkonfiguration durch die gekrümmte Raumzeit stark deformiert. Die Feldtopologie hat eine starke Ähnlichkeit zum gerade besprochenen Beispiel einer Metallkugel, wie Hanni und Ruffini feststellten. Dem Membran-Paradigma zufolge darf man nun den kugelsymmetrischen Ereignishorizont als dünne Kugelschale (engl. stretched horizon) auffassen. In dieser Membran (engl. membrane) befinden sich gleich viele elektrisch positive und negative Ladungsträger. Nähert sich nun eine elektrische Ladung dem Horizont, so wird die Membran analog zur Metallkugel polarisiert.

Anwendungsgebiete des Paradigmas

Das Membran-Paradigma Schwarzer Löcher kann beim Blandford-Znajek-Mechanismus angewendet werden. Bei diesem Prozess wird dem rotierenden Schwarzen Loch (Kerr-Geometrie) Rotationsenergie entzogen. Die so extrahierte Energie kann benutzt werden, um über Magnetfelder ergosphärische Plasmaausflüsse zu treiben. Blandford und Znajek fanden 1977, dass bei dieser Energieextraktion elektrische Ströme an den Polen des rotierenden Horizonts eintreten und nahe am Äquator des Horizonts wieder austreten. Der Eintritt wird durch den Einfall elektrisch positiver Ladungsträger (Ionenrümpfe) repräsentiert. Der Austritt hingegen wird durch den Einfall negativer Ladungsträger (Elektronen) bewerkstelligt. Das rotierende Kerr-Loch kann dabei wie ein Spannungsgenerator aufgefasst werden, der elektrische Ströme aus der Äquatorebene treibt. Der elektrische Stromkreis folgt poloidalen Feldlinien und wird beim Wiedereintritt in die Polregion wieder geschlossen. Dies generiert die charakteristische Magnetosphäre rotierender Schwarzer Löcher. Das Plasma in der Umgebung Schwarzer Löcher wird durch die elektrischen Ströme getrieben und erzeugt die Jets. Diese großskaligen Plasmaströmungen können mühelos relativistische Geschwindigkeiten erreichen und den Bereich des Schwarzen Loches verlassen. Man beobachtet sie in vielen Typen Aktiver Galaktischer Kerne (AGN) in Form von Radioemission von der Synchrotronstrahlung der Elektronen, vor allem in Radiogalaxien und radiolauten Quasaren. Die gleiche Physik kommt auch beim anisotropen Feuerball-Modell der Gamma Ray Bursts zum Einsatz - hier sind die Lorentz-Faktoren sogar um ein bis zwei Zehnerpotenzen größer!

noch mehr Papas

Znajek und Damour erkannten 1977/78, dass man die elektrischen Ströme in das Bild des Membran-Paradigmas von Hanni und Ruffini einbetten kann, indem man sich vorstellt, dass die Ströme an die Ladungen im Horizont, in der Membran, koppeln. Die Ströme knüpfen an die Ladungsträger im Horizont an und führen von der Polregion zu äquatorialen Gebieten. Es stellte sich heraus, dass man mathematisch Verallgemeinerungen der klassischen Gesetze der Elektrodynamik erhält, die analog sind zum Ampèreschen Gesetz, Gauß'schen Gesetz, Ohmschen Gesetz und zur Ladungserhaltung.

Analoga zur klassischen Elektrodynamik

• Ampèresches Gesetz: Der Oberflächenstrom des Ereignishorizonts ist gerade so groß, so dass sämtliche parallelen magnetischen Feldlinien eliminiert werden und ihr Anteil im Innern hinter dem Horizont verschwindet.
• Gauß'sches Gesetz: Die Oberflächenladung des Ereignishorizonts ist gerade so groß, so dass sämtliche elektrische Feldlinien an ihm enden und nicht ins Innere hinter dem Horizont eindringen.
• Ohmschen Gesetz: Der Oberflächenstrom des Ereignishorizonts ist proportional zu den elektrischen Feldern, die tangential zum Horizont orientiert sind. Der Proportionalitätsfaktor entspricht einem endlichen Widerstand von 377 Ohm.
• Ladungserhaltung: Die Ladungsbilanz ist null. Der Anteil elektrisch positiver Ladung, der an den Polen am Horizont eindringt, ist gerade so groß wie der Anteil negativer Ladungen, die ihn am Äquator verlassen.

Das Membran-Paradigma ist ein mächtiger Formalismus in der Elektro- und Magnetohydrodynamik Schwarzer Löcher.

Aber Vorsicht...

Eines muss jedoch klar gestellt werden: Innerhalb des Ereignishorizonts verliert das Membran-Paradigma seine Vorhersagekraft. Insbesondere 'spürt' ein Beobachter, der in ein Schwarzes Loch fallen würde, nicht irgendwelche Ladungen, die am Horizont lokalisiert sind!

Quellen

• Buch von Kip Thorne: Black Holes and Time Warps, 1994
• Papier von S.S. Komissarov 2002, astro-ph/0211141
• Buch von Thorne, Price & Macdonald: The Membrane Paradigm, Yale University Press, 1986

Die Mesonen (grch. meson: mittel) sind neben den Baryonen eine Unterklasse der Hadronen. Sie bestehen aus zwei Quarks, und zwar einem Quark und einem Antiquark (siehe auch Antimaterie), die aber nicht unbedingt dasselbe Flavor haben müssen. Aber daraus erklärt sich ihre Kurzlebigkeit. Alle Mesonen sind Bosonen, weil die Spins ihrer fermionischen Konstituenten zu ganzzahligen Spins koppeln.

Metall bezeichnet in der Astronomie im Unterschied zur Chemie alle Elemente, die im Periodensystem der Elemente nach Wasserstoff (H) und Helium (He) folgen!

Für den Astronomen ist nicht nur Gold ein Metall, sondern auch Kohlenstoff.

Hoppla!

Die sonderbare Regelung kam deshalb zustande, weil Wasserstoff, Deuterium (schwerer Wasserstoff, D) Helium und Lithium (Li) die mit Abstand häufigsten Elemente im Universum sind. Diese leichten Elemente wurden in der primordialen Nukleosynthese bereits in der Frühphase des Kosmos erzeugt. Alle schwereren Elemente bis zum Element Eisen (Fe) werden erst im Innern von Sternen durch thermonukleare Fusion gebildet. Noch schwerere Elemente oberhalb der Atommasse von Eisen werden erst in den Explosionen massereicher Sterne am Ende ihrer Sternentwicklung, den Supernovae und in Sterngiganten, den Roten Riesen, erzeugt. Hier unterscheidet man verschiedene Einfangprozesse von Nukleonen (Proton und Neutron): den s-Prozess, den r-Prozess und den seltenen p-Prozess.

Nicht-Metalle gab es schon vor den Sternen

Wasserstoff, Helium und Lithium wurden bereits primordial in den Frühphasen des Universums erzeugt. Ursache dafür war der heiße Feuerball, der nach dem Urknall expandierte. In dieser Phase war der Feuerball mit etwa 10⁹ Kelvin so heiß, dass er selbst als riesiger Fusionsreaktor fungierte: die Temperaturen reichten für das Wasserstoff- und Heliumbrennen aus.
'Brennen' ist der zweite Begriff, der abweichend zur Chemie verwendet wird: damit ist nicht etwa eine chemische Reaktion gemeint, an der Sauerstoff beteiligt ist, sondern die Fusion der jeweiligen Spezies.

Die ersten Sterne

Die ersten Sterne, die sich überhaupt im Universum gebildet haben, die Population III, unterschieden sich deutlich von den Sternen der Folgegenerationen. Sie bestanden ausschließlich aus primordialem Material (also H, D, He-3, He-4 Li-7) und konnten deshalb viel massereicher sein. Der Bereich ab 100 Sonnenmassen, der im lokalen Universum nur noch bei Exoten wie η Carinae (Sternbild Schiff) tangiert wird, war für PopIII-Sterne durchaus üblich. In diesem Zusammenhang sprechen die Astronomen häufig von Very Massive Stars (VMS), sehr massereiche Sterne.

Begriff der Metallizität

Eine wichtige Kenngröße in der Stellarphysik ist Metallizität (engl. metallicity) . Es handelt sich dabei um den Metallgehalt pro Einheitsvolumen, wobei 'Metall' wieder astronomisch zu verstehen ist (Elemente schwerer als Helium). An diese Größe gelangen Astronomen recht einfach über die Auswertung von Spektren. Metalle machen sich in Sternspektren als Absorptionslinien bemerkbar. Diese Linien heißen Metalllinien. Die relative Stärke dieser Linien wächst mit der Metallhäufigkeit im Stern. Ein gutes Maß ist der Vergleich der relativen Stärken von der Absorptionslinie von Eisen zu der von Wasserstoff, in der Regel mit [Fe/H] abgekürzt. Dieses Verhältnis wird außerdem logarithmiert. Die Metallizität wird an der Sonne geeicht, d.h. man bezieht [Fe/H] des beobachteten Objekts auf dasjenige der Sonne. So gewinnen die Astronomen die Metallizität in Einheiten der solaren Metallizität (engl. solar metallicity).

Zahlenbeispiele

Ein metallarmes Objekt hat zum Beispiel [Fe/H] = -2, also zwei Hundertstel der solaren Metallizität. Generell gilt die Nomenklatur, dass ein Objekt mit [Fe/H] > als -1 metallreich (engl. metal-rich) und mit [Fe/H] < als -1 metallarm (engl. metal-poor) genannt wird.

Recycling erhöht Metallizität

PopIII-Sterne sind extrem metallarm und weisen Metallizitäten von [Fe/H] < -6 auf, d.h. sie haben weniger als ein Millionstel der solaren Eisenhäufigkeit. Diese Verhältnisse änderten sich mit der schnellen Sternentwicklung der gigantischen PopIII-Sterne: entweder sie gingen am Ende ihrer Entwicklung im Gravitationskollaps mehr oder weniger direkt in stellare Schwarze Löcher (möglicherweise z.T. auch in andere kompakte Objekte) über, oder sie wurden durch die Paarinstabilitäts-Supernova völlig zerrissen. Egal was davon geschah: auf jeden Fall konnte auf diese Weise das interstellare Medium (ISM) mit reprozessiertem Material höherer Metallizität angereichert werden. Es folgten neue Sterngenerationen, die in ihrem heißen Innern weitere schwerere Elemente fusionierten, wenn sie nur genügend heiß waren. Dieser Materiekreislauf erhöhte damit nach und nach die Metallizität des Universums. Diese Elementvielfalt war sicher eine Voraussetzung für die Entstehung komplexen Lebens auf der Erde.

Populationen

Der Begriff der Population für Sterngruppen geht auf den deutschen Astronomen Walter Baade (1893 - 1960) zurück. Population I waren die jüngsten, d.h. zuletzt gebildeten, Sterne und bevölkern vornehmlich die galaktische Scheibe, offene Sternhaufen und die Spiralarme. Population II bezeichnet hingegen die so genannte Halo-Population, also alte Sterne, die im galaktischen Halo sitzen. In diesem Halo, einer sphäroiden Region, die die galaktische Scheibe umhüllt, befinden sich die ältesten Objekte einer Galaxie, die Kugelsternhaufen.
Das ständige Recycling interstellaren Materials und die obigen Definitionen der Populationen lassen sofort erkennen, dass die Metallizität von Population III über II nach I beständig zunahm.

Die Metrik ist in Einsteins Relativitätstheorie ein geometrisches Gebilde, das von den drei Raumdimensionen und der Zeitdimension aufgespannt wird. Diese vierdimensionale Mannigfaltigkeit wird auch Raum-Zeit-Kontinuum oder kurz Raumzeit (engl. space-time) genannt.
Raum und Zeit bilden eine Einheit und stellen die 'Bühne (die Welt), wo sich die Geschehnisse ereignen. Diese 'Bühne; ist jedoch dynamisch (siehe auch Diffeomorphismus) und in ihrer Dynamik beeinflusst von jeder Energieform, z.B. von der Masse.
In Einsteins Theorie ist die Metrik ein Tensor. Dieser metrische Tensor ist symmetrisch und besteht deshalb aus (im Allgemeinen) zehn unabhängigen Komponenten. Wegen der vier Dimensionen kann der metrische Tensor als 4 × 4-Matrix geschrieben werden, der eigentlich 4 × 4 = 16 Komponenten hat. Die Symmetrie reduziert die 16 auf zehn unabhängige Komponenten.
Im Prinzip kann man die Begriffe Raumzeit, Metrik, metrischer Tensor und Linienelement synonym verwenden. Das Linienelement stellt die Metrik kompakt als eine Gleichung dar.

flache Metrik

Der einfachste metrische Tensor ist derjenige einer flachen Raumzeit, die so genannte Minkowski-Metrik. In Abwesenheit von Massen und Energie oder bei verschwindend kleinen Energien liegt diese Vakuum-Raumzeit vor, die auch den Hintergrund der Speziellen Relativitätstheorie bildet. Der Minkowski-Tensor ist deshalb sogar diagonal, hat nur vier von null verschiedenen Komponenten auf der Matrixdiagonalen. Diese sind sogar konstant, was in eine ungekrümmte und statische Raumzeit mündet. Die Zeit zeichnet sich gegenüber den Raumkoordinaten dadurch aus, dass sie entgegengesetztes Vorzeichen trägt. Dieser Umstand sichert die Lorentzinvarianz des Linienelements. D.h. verschiedene Beobachter in unterschiedlichen Bezugssystemen mögen unterschiedliche Zeitabstände oder Raumabstände für sich genommen messen, aber raumzeitliche Abstände stimmen überein und sind in diesem Sinne absolut. Die Relativisten sagen auch: das Linienelement ist eine Invariante.

Signatur der Metrik

Es gibt genau zwei mögliche Konventionen für die Vorzeichenwahl in der Minkowski-Metrik: (- + + +) oder (+ - - -). Dies nennt man die Signatur der Metrik. Kurz sagt man auch, die Signatur sei +2 oder -2, entsprechend der Summe der Vorzeichen.
Diese Freiheit bei den Vorzeichen gilt für alle Metriken der Relativitätstheorie. Im Vorzeichenunterschied schlägt sich letztendlich die unterschiedliche Natur von Raum und Zeit nieder: Die drei Raumdimensionen haben alle das gleiche Vorzeichen, entweder + + + oder - - -; legt man diese Vorzeichen fest, so muss die Zeit das entsprechend gegensätzliche Vorzeichen haben. Raum und Zeit bilden zwar ein Kontinuum, doch ihr unterschiedliches Wesen besteht einzig in diesem scheinbar harmlosen Vorzeichenunterschied.

gekrümmte Metrik

Die Morphologie der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit ändert sich entscheidend, wenn Quellen des Gravitationsfeldes auftauchen. Das illustriert die Abbildung oben. Der metrische Tensor einer gekrümmten Metrik enthält Komponenten, die koordinatenabhängig sind. Sie legen gerade die Krümmungseigenschaften der betreffenden Metrik fest.

Beispiel 1: die gekrümmte Schwarzschild-Metrik

Die historisch erste Lösung einer daraus resultierenden gekrümmten Raumzeit war die Schwarzschild-Metrik (1916). Sie beschreibt kugelsymmetrische und statische Raumzeiten von Punktmassen und wird in der Astrophysik auf relativistische, aber nicht rotierende Sterne und insbesondere auf statische, nicht rotierende Schwarze Löcher angewendet. Die Schwarzschild-Lösung ist eine Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichungen, der Energie-Impuls-Tensor ist null, aber die Quelle der Gravitation ist eine punktförmige Singularität im Symmetriezentrum der Raumzeit.
Der zugehörige metrische Tensor der Schwarzschild-Lösung ist ebenfalls diagonal wie die Minkowski-Metrik, aber die Diagonalelemente sind koordinatenabhängig. Daraus folgen die Krümmungseigenschaften der Schwarzschild-Raumzeit fest, die vor allem nahe der Singularität wesentlich werden.

Beispiel 2: die gekrümmte Kerr-Metrik

Eine rotierende Verallgemeinerung der statischen Schwarzschild-Lösung wurde erst 1963 von dem neuseeländischen Mathematiker Roy Patrick Kerr gefunden, die seither Kerr-Metrik heißt. Bei dieser Metrik sind auch zwei Nebendiagonalelemente (die tΦ-Komponente und ihr symmetrisches Pendant) von null verschieden, in denen sich gerade die Rotation der Raumzeit widerspiegelt (siehe auch Lense-Thirring-Effekt).

Symmetrien der Raumzeit

Transformationen, die die Metrik in ihrer Gestalt nicht verändern, also forminvarinat lassen, nennt man Isometrien. Die Isometriebedingung führt auf die Killing-Gleichung und liefert die Killing-Felder einer Metrik, die eng mit deren Symmetrie zusammenhängen. Dies ist ein wichtiges Werkzeug, um die Symmetrieeigenschaften von Raumzeiten zu studieren.

Determinante der Metrik

Eine wichtige Größe, die man aus dem metrischen Tensor ableitet, ist die Determinante der Metrik, üblicherweise mit g bezeichnet. Stellt man den metrischen Tensor als 4 × 4-Matrix dar, folgt die Determinante nach den üblichen Regeln der Matrizenrechnung.
g geht zum Beispiel in die Lagrangedichte der ART ein (Einstein-Lagrangedichte, Einstein-Hilbert-Wirkung) und kann Ausgangpunkt einer Quantenfeldtheorie der Gravitation genutzt werden. In den Eichtheorien ist das eine mächtiger, mathematischer Apparat.

Metriken der Kosmologie

Die zentrale Metrik der Kosmologie ist die Robertson-Walker-Metrik, die der Schwarzschild-Metrik sehr ähnelt. Allerdings ist in dieser relativistischen Beschreibung des materiegefüllten Universums neu, dass die Friedmann-Weltmodelle keine Vakuumraumzeiten sind. Dann wird der Energie-Impuls-Tensor verschieden von null und die Materie im vorliegenden Fall durch eine ideale Flüssigkeit beschrieben. Außerdem kann in Lambda-Universen, was offensichtlich auch in der Natur realisiert ist, ein kosmologischer Term berücksichtigt werden. Die zusätzliche Quelle des Gravitationsfeldes neben der als Flüssigkeit beschriebenen Materie ist dann die Dunkle Energie, die antigravitativ wirkt und die Expansion des Universums beschleunigt. Der metrische Tensor der Robertson-Walker-Metrik ist ebenfalls diagonal, aber mit koordinatenabhängigen Komponenten.

Analysen der Raumzeit mit konformen Metriken: Penrose-Diagramme

In der Analyse von Metriken hat es sich als Vorteil erwiesen, das Verhalten der Raumzeit im Unendlichen mit einer unphysikalischen Metrik zu studieren, die man aus der Raumzeit gewinnt. Man führt eine konforme Transformation durch und gewinnt aus einer gegebenen Metrik eine dazu konforme Metrik. Diese Prozedur ist die Voraussetzung zur Gewinnung von Penrose-Diagrammen, die von großer Relevanz bei der Untersuchung von Raumzeiten in der ART sind.

M
A-Z

nach oben

© Andreas Müller, August 2007

Index