Astro-Lexikon S 5

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A-Z

Neben Unitarität und Orthogonalität eine bestimmte Eigenschaft von Transformationsmatrizen - oder allgemein gesprochen von Operatoren. Operatoren sind für die Quantentheorie das, was die Tensoren für die Allgemeine Relativitätstheorie sind. Operatorgleichungen wie beispielsweise die Schrödinger-Gleichung legen die Eigenschaften und die Dynamik von Quantensystemen fest. Häufig können physikalische Operatoren als Matrizen, eine Anordnung von (reellen oder komplexen) Zahlen oder auch Funktionen, dargestellt werden. Matrizen haben bestimmte mathematische Eigenschaften. Eine davon ist, dass spezielle Matrizen (gemeint: Matrizen mit der Eigenschaft Spezialität) einen Wert von 1 für ihre Determinanten haben.
Die Transformationen, die diese Matrizen bewerkstelligen, können Gruppen oder Symmetriegruppen bilden und sind dann besonders wichtig in der Gruppentheorie der Physik, wie sie besonders in der Teilchenphysik angewandt wird.
Die (Matrizen-)Eigenschaften Unitarität, Orthogonalität und Spezialität dienen dann einer Klassifikation dieser Gruppen. Details werden unter dem Eintrag Gruppe und Symmetriegruppe besprochen.

Die Spezielle Relativitätstheorie oder kurz SRT war der erste Schritt einer fundamentalen Theorie des 20. Jahrhunderts von Albert Einstein (1879 - 1955), die nicht nur die Sichtweise der physikalischen Welt vollkommen umwälzte. Einstein publizierte die SRT in seinem 'Wunderjahr' 1905, in dem er viele wichtige Arbeiten veröffentlichte. Salopp gesagt ist die Spezielle Relativitätstheorie eine Theorie der hohen Geschwindigkeiten und verschiedenen Beobachter, die einen Vorgang in der Natur betrachten. Etwas präziser formuliert beschreibt die SRT die Transformation einzelner physikalischer Größen oder physikalischer Gesetze, wenn man das Bezugssystem wechselt. Die Effekte der SRT werden besonders dann relevant, wenn die relative Geschwindigkeit zwischen den betrachteten Bezugssystemen vergleichbar wird mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Einsteins erste Ansätze

Ausgangspunkt waren Einsteins Gedankenexperimente. Schon als 16jähriger stellte er sich die Frage, wie die Welt aussehen möge, wenn man auf einem Lichtstrahl reitet. Die Theorie der klassischen Elektrodynamik von J.C. Maxwell faszinierte ihn sehr früh. Er stellte fest, dass es eine Inkonsistenz zwischen dieser Theorie und der klassischen Gravitationstheorie von Isaac Newton gab: Im Kern ist es aus heutiger Sicht klar, dass die Galilei-Invarianz der Newtonschen Theorie völlig wesensverschieden von der Lorentzinvarianz der Maxwellschen Theorie ist. Deshalb musste es zu diesem Missverhältnis kommen.

Die Experimente von Michelson und Morley

Als Einstein noch ein Knabe war, wurden die Michelson-Morley-Experimente (1881 und 1887) durchgeführt. Dieses Experiment ist eine Anordnung, die zum Ziel hatte, die Richtungsabhängigkeit der Geschwindigkeit von Lichtwellen zu zeigen. Die Physiker nahmen bis dato an, dass - analog zur Akustik, wo sich Schallwellen z.B. im Medium Luft ausbreiten - ein Medium für die Lichtwellen existiere, das sie Weltäther nannten. Sollte er existieren, so müsste dieses Medium (ebenso wie Luft) durch die Erdrotation abgelenkt werden. Als Messinstrument kam ein präzises, optisches Messsystems mit der Bezeichnung Michelson-Interferometer zum Einsatz (rechts dargestellt mit modernem Laser und Photodiode; große Abbildung). In dieser Anordnung von Lichtstrahlen sollte die Mitbewegung des Lichtäthers, also auch der Lichtwellen auf einem der Interferometerarme nachgewiesen werden. Dabei sollte sich das Interferenzmuster verändern, doch war keine Interferenzverschiebung beobachtbar! Die Lichtgeschwindigkeit ist demnach in alle Richtungen gleich und unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle! Die Nichtnachweisbarkeit des Äthers wird in der Literatur als Negativresultat bezeichnet.

Einsteins verblüffende Lösung

Einstein konnte diese experimentelle Beobachtung erklären, indem er forderte, dass es erstens gar keinen Weltäther gebe und zweitens, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen konstant sei. Neben diesem ersten Postulat, der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, nahm er ein zweites an, das Relativitätsprinzip. Dessen Aussage ist, dass die physikalischen Gesetze und Messungen in allen zueinander gleichförmig geradlinig bewegten Systemen gleich seien.

Ein Vorschlag erschüttert die Welt

Diese Postulate hatten weit reichende Konsequenzen und führten zu einer Revision der Begriffe Zeit, Raum und Gleichzeitigkeit. Der Wechsel zwischen relativ zueinander geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssystemen wird mathematisch nicht mit der Galilei-Transformation beschrieben, sondern mit der Lorentz-Transformation. Sie zeigt, dass Raum und Zeit ein vierdimensionales Kontinuum bilden und nicht unabhängig voneinander sind. So beschreibt ein Ereignis oder Weltvektor einen Punkt in der vierdimensionalen Raumzeit, der durch die Zeit und die drei räumlichen Koordinaten eindeutig festgelegt ist. Der raumzeitliche (4er-)Abstand (siehe auch Linienelement) zwischen zwei Ereignissen ist eine Lorentz-Invariante, d.h. unabhängig von der Wahl des Bezugssystems. Lorentz-Invarianten verändern sich nicht unter Lorentz-Transformationen. Raum und Zeit für sich genommen hingegen sind abhängig vom Bezugssystem. Durch die SRT verlor die Zeit ihren absoluten Charakter, den Aristoteles und Newton in ihr sahen. Daher ist auch die Gleichzeitigkeit ein relativer Begriff in der Relativitätstheorie.
Bewegt sich ein kräftefreier Körper in einem Bezugssystem geradlinig und gleichförmig, so nennt man dieses System Inertialsystem (vgl. inert: 'träge'). In einem Inertialsystem wirken also auch keine 'Scheinkräfte', wie die Trägheitskräfte Zentrifugalkraft und Coriolis-Kraft. Die Erde ist demnach kein Inertialsystem.

Konsequenzen einer absoluten Vakuumlichtgeschwindigkeit

Die Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit c zog bizarre Effekte, wie die Längen- oder Lorentz-Kontraktion und die Zeitdilatation nach sich, die auch heute noch für den alltäglichen Gebrauch seltsam anmuten. Im ersten Fall wird die Länge eines Objekts in Bewegungsrichtung gestaucht - und zwar für jemanden, der das Objekt von außen beobachtet. Im zweiten Falle wird ein Zeitintervall einer bewegten Uhr gedehnt, die ein Außenbeobachter an sich vorbeifliegen sieht. Beides wird also relativ betrachtet vom Ruhesystem zu einem Beobachtersystem, die sich mit der konstanten Relativgeschwindigkeit v zueinander bewegen. Die Effekte der SRT werden dann besonders groß, wenn v und c vergleichbare Beträge haben. Das ist der Grund, weshalb uns speziell relativistische Phänomene im Alltag fremd sind. In der relativistischen Astrophysik sind die Effekte Normalität, z.B. bei den Jets der Schwarzen Löcher oder bei den Bewegungen von Akkretionsflüssen.
Rechnerisch ableiten lassen sich diese Effekte formal mit der Lorentz-Transformation, die man mathematisch als Matrix-Vektor-Produkt schreiben kann. Hier wird die Lorentz-Transformationsmatrix auf (ko- oder kontravariante) Vierervektoren angewendet, die einen Weltpunkt definieren. Ein Weltpunkt ist ausgezeichnet durch eine Zeitkoordinate und drei Raumkoordinaten, gemessen in einem Bezugssystem.

E = mc²

Die bekannteste Gleichung Einsteins, sicherlich die bekannteste der Physik, ist wohl das Masse-Energie-Äquivalent, E = mc². Sie besagt als wichtiger, erkenntnistheoretischer Aspekt, dass Masse und Energie wesensgleich sind.
E ist die Gesamtenergie eines Systems. Der Lorentz-Faktor (γ, manchmal auch Γ, 'gamma', siehe Gleichung rechts; wieder mit der relativen Geschwindigkeit v des Körpers und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c) steckt in dieser Gleichung und kann für kleine Geschwindigkeiten v entwickelt werden (Binomische Reihe). Nach dieser Prozedur zeigt sich, dass die Gesamtenergie aus Beiträgen verschiedener Energien besteht: E = E₀ + E_kin + .... Die kinetische Energie ist der klassisch bekannte Term: E_kin = ½ m₀v². Der erste Term jedoch ist neu: E₀ = m₀c² nennen Physiker die Ruheenergie, die unabhängig von der Geschwindigkeit v ist. Durch die sehr große Zahl c² steckt in jedem Teilchen also eine gigantische Energie, die genutzt werden kann. Genau das passiert im Innern von Sternen in thermonuklearen Fusionsprozessen und auch in kernphysikalischen Experimenten.
Am Ende des Lexikoneintrags Relativitätstheorie wird ein aktueller, experimenteller Test vorgestellt, der in einem Versuch die Richtigkeit von E = mc² mit hoher Präzision demonstriert hat.

Von der flachen zur gekrümmten Raumzeit

Mit der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) gelang es Einstein und vor allem seinem Studienkollegen Marcel Grossmann nach jahrelanger Arbeit das Relativitätsprinzip auf beschleunigte Systeme zu verallgemeinern. Das neue Prinzip heißt Äquivalenzprinzip. Da die Gravitation Systeme beschleunigt, ist die ART damit eine Theorie der Gravitation. Die Verallgemeinerung lautet: frei fallende Labore sind Inertialsysteme.
Die vierdimensionale Raumzeit der SRT ist flach, d.h. sie weist keine Krümmungen auf und wird durch die Minkowski-Metrik beschrieben. Das ist in der ART wesentlich komplizierter: die Metrik ist im Allgemeinen gekrümmt. Der metrische Tensor hat dann keine konstanten Einträge mehr, wie in der Spezielle Relativitätstheorie, sondern Komponenten, die vom Weltpunkt selbst (also Koordinatenzeit und den drei räumlichen Koordinaten) abhängen. Die Krümmung kann sich von Weltpunkt zu Weltpunkt ändern und wird durch Energieformen, wie beispielsweise von Masse, erzeugt. Diese Information steckt vollständig im Energie-Impuls-Tensor. Die zentrale Gleichung der ART ist die Einsteinsche Feldgleichung, die mathematisch ausdrückt, wie Massen die Raumzeit krümmen und umgekehrt, wie die Raumzeit den Testmassen eine Bewegung auf Geodäten diktiert.

Der Spin wird im Deutschen mit dem Begriff Eigendrehimpuls bezeichnet. Spin ist ebenso wie Ladung und Masse eine fundamentale Eigenschaft eines Teilchens und stellt einen weiteren Freiheitsgrad dar. Allerdings besitzt er als quantenmechanische Observable kein klassisches Analogon. Die Vorstellung, dass ein kugelförmiges Teilchen um seine eigene Achse rotiert ist nur eine klassische Vorstellung, die nicht besonders hilfreich ist. Neben anderen Quantenzahlen ist die Spinquantenzahl S ist eine unveränderliche Teilcheneigenschaft.

Dirac-Theorie: Spin ist relativistisch

Der Spin ist eine relativistische Eigenschaft! Man kann ihn physikalisch nur erklären, wenn man die Konzepte der Quantenmechanik mit der Speziellen Relativitätstheorie verknüpft. Die fundamentalen Gleichungen dieser Dirac-Theorie, benannt nach dem britischen Physiker Paul Dirac (1902 - 1984), kann man recht schnell ableiten, wenn man die Größen E und p im relativistischen Energiesatz ('relativistischer Pythagoras', siehe Abbildung rechts) gemäß des Korrespondenzprinzips in Differentialoperatoren (E: Zeitableitung, p: Ortsableitung) übersetzt. Die resultierende Gleichung nennt man Klein-Gordon-Gleichung, die die Bewegungsgleichung des Elektrons ist. Sie ist zweiter Ordnung in der Ableitung nach Ort und Zeit und eine Wellengleichung.
Diracs Verdienst war es nun, diese Gleichung zu faktorisieren, so dass die Dirac-Gleichung resultierte. Mit dieser Gleichung kann man das Elektron (bzw. dessen Antiteilchen, das Positron) als freies Teilchen oder im elektromagnetischen Feld beschreiben. Bei der Linearisierungsprozedur tauchten neue Objekte auf, quadratische Matrizen, die man Dirac-Matrizen (oder auch Spinoperatoren) nennt. Sie genügen bestimmten Kommutatorrelationen (Vertauschungsrelationen). Dirac folgerte, dass nun im Allgemeinen auch die Wellenfunktionen nicht mehr einkomponentige Objekte sein können: man notiert sie wie einen Vektor und nennt sie Spinor. In diesen Komponenten steckt die ganze Information über den Teilchenspin. Die Dirac-Gleichung ist also eine Matrix-Gleichung und durch die Linearisierung nur noch erster Ordnung in Zeit und Ort.

Antimaterie

Eine bahnbrechende Erkenntnis bei der Formulierung der Dirac-Gleichung war die Vorhersage des Positrons, des Antiteilchens des Elektrons mit gleicher Ruhemasse (511 keV), aber positiver Ladung. Diese Leistung gelang durch eine physikalische Interpretation einer zweiten Lösung der Dirac-Gleichung. Der Begriff Antimaterie war mit dieser theoretischen Leistung geboren.
Im speziellen Fall der Elektronen und Positronen konstituieren sich die Dirac-Matrizen aus den Pauli-Matrizen. Die Pauli-Matrizen sind 2 × 2-Matrizen, während die Dirac-Matrizen 4 × 4-Matrizen sind. Die Wellenfunktionen des Elektrons/Positrons sind in der Dirac-Theorie vierkomponentige Spinoren.

Hilbertraum des Spins

Betrachtet man nur den Hilbertraum des Spins, so gilt allgemein, dass ein Teilchen mit Spinquantenzahl S als (2S+1)-komponentiger Spinor geschrieben werden kann. Elektronen, Positronen, Protonen und Neutronen haben Teilchenspin 1/2, so dass ihr Hilbertraum des Spins zweidimensional ist und ihre Spinoren zwei Komponenten haben: 'Spin nach oben' (engl. spin up) und 'Spin nach unten' (engl. spin down). Diese Orientierungen sind so zu verstehen, dass der Spinvektor S parallel oder antiparallel zur z-Achse ausgerichtet sein kann. Diese Eigenschaft nennen Quantenphysiker generell Richtungsquantelung, d.h. es kann nur diskrete Einstellungsmöglichkeiten des Spins relativ zur z-Achse geben. Dies kann man als Eigenwertgleichung für den Spinoperator S_z (der Projektion des Spinoperators S auf die z-Achse) darstellen, wobei die diskreten Eigenwerte gerade die Produkte aus Planckschem Wirkungsquantum h geteilt durch 2π und der magnetischen Quantenzahl m sind. m kann bei einem Teilchenspin S die Werte -S, -S+1, -S+2....+S annehmen. Im Fall S = 1/2 sind das nur die beiden Werte m = -1/2 und m = +1/2.
Die Umstellung zwischen diesen beiden Werten, die auch verschiedenen energetischen Zuständen entsprechen, vermitteln Spinoperatoren, die den Spin umklappen können (engl. spin flip). Solche Leiter- oder Stufenoperatoren sind analog zu den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Quantenfeldtheorien. In der Quantentheorie des Spins erzeugen bzw. vernichten sie Spinquanten.

Terminologie bei Spins

• Teilchen mit S = 0 nennt man skalare Bosonen. Dazu gehören beispielsweise das Higgs-Teilchen und die Phononen. Letztere sind quantisierte Gitterschwingungen im Festkörper.
• Teilchen mit S = 1 nennt man Vektorbosonen. Hier seien die Photonen, die Gluonen der QCD, die schwachen Eichbosonen W^-, W⁺ und Z⁰ der schwachen Wechselwirkung, die X-Bosonen und Y-Bosonen der GUT sowie das Magnon als Beispiele genannt.
• Teilchen mit S = 2 nennt man Tensorbosonen. Diese Eigenschaften ordnen die Physiker dem hypothetischen Graviton zu, das die Gravitation als Eichboson vermitteln soll.

Bedeutung des Spins

Der Spin spielt eine zentrale Rolle im Aufbau der Materie: so ist das Periodensystem der Elemente nur dann verständlich, wenn man den Elektronenspin berücksichtigt. Die Natur unterscheidet Teilchen mit halbzahligem Spin, die Fermionen, von solchen mit ganzzahligem Spin, die Bosonen (siehe auch Spin-Statistik-Theorem). Diese beiden Teilchenarten verhalten sich unterschiedlich, weil die Fermionen dem Pauli-Prinzip unterliegen und nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen, d.h. nicht denselben quantenmechanischen Zustand besetzen dürfen. Für Bosonen gilt das nicht! Aus diesem Grund können sie alle denselben, den niedrigsten, energetischen Zustand einnehmen, wenn man das Bose-System nur weit genug abkühlt. Diese Phänomen kennt man als Bose-Einstein-Kondensation.
Der Magnetismus in Festkörpern ist ebenfalls eine Erscheinung, die nur mit dem Teilchenspin erklärt werden kann, also letztendlich auch ein relativistisches Phänomen! Magnetismus auf der subatomaren Ebene heißt, dass sich viele Spins spontan parallel orientieren. Gebiete im Festkörper gleicher Spin-Orientierung nennt man gerade die Weißschen Bezirke. Elektronen parallelen Spins versuchen einander auszuweichen, wie das Pauli-Prinzip diktiert. Die magnetischen Spinmomente etablieren dann eine spontane Magnetisierung des Festkörpers. In der theoretischen Festkörperphysik formuliert man dies mit den Hartree-Fock-Gleichungen, die Vielteilchensysteme quantentheoretisch beschreiben.

Drehimpulsalgebra

Die Rechtfertigung des Terminus Drehimpuls für den Spin besteht darin, dass er sich in einen speziellen, mathematischen Formalismus einbetten lässt, der Drehimpulsalgebra. Dahinter stecken bestimmte Kommutatorrelationen, die alle Drehimpulse erfüllen. Es sind Operatorgleichungen, die typisch sind für die Quantentheorie, und die bei Drehimpulsen eine wohldefinierte Form haben. Neben dem Spin als Eigendrehimpuls, erfüllt auch der klassische Bahndrehimpuls diese Relationen. Aber auch tiefer reichende Konzepte der Quantenfeldtheorien, wie der Isospin oder schwache Isospin transformieren sich wie Drehimpulse. Alle diese Spins sind als weitere Freiheitsgrade eines Quants aufzufassen und dienen deren Unterscheidung und Ordnung im Teilchenzoo der Elementarteilchenphysik.

Spins als Elementarmagneten

Mit jedem Spin ist ein magnetisches Moment verknüpft, über den spinbehaftete Teilchen an ein äußeres Magnetfeld koppeln können. So, wie sich ein Stabmagnet im irdischen Magnetfeld ausrichtet, richten sich Teilchen mit Spin in Magnetfelder aus. Mit einem spinbehafteten Teilchen verbindet sich die Vorstellung eines winzigen Elementarmagneten mit Nord- und Südpol. Im Stern-Gerlach-Versuch (1921) wird ein Atomstrahl (Silberatome) in ein starkes, inhomogenes Magnetfeld eingeschossen. Die Experimentatoren beobachten dann eine Aufspaltung des Strahls in zwei Teilstrahlen gleicher Intensität. Dieses Experiment deutete gerade auf eine bis dato verborgene Teilcheneigenschaft hin: den Spin. Die Aufspaltung demonstriert gerade die Richtungsquantelung.

Was passiert im Kernspintomographen?

Eine wichtige Anwendung des Teilchenspins in der Medizin ist die Kernspintomographie (Nuklearmagnetische Resonanz, kurz NMR). Hier nutzt man aus, dass auch die Teilchen im Atomkern, die Nukleonen (Neutronen und Protonen), halbzahligen Spin tragen. Alle diese Spins summiert man auf, um den Gesamtspin des Atomkerns, den Kernspin, zu erhalten. Bestimmte Atomkerne haben einen von null verschiedenen Kernspin (in der Medizin häufig H-1, H-2, C-13, N-14) und können als medizinische Diagnostika dienen. Der Kernspin koppelt an die Spins der Elektronen in der Atomschale und bewirkt auf diese Weise unterschiedliche energetische Zustände im Gesamtsystem. Man kann nun gezielt höhere energetische Zustände anregen, indem man das Material einem starken, homogenen Magnetfeld aussetzt, das von einem weiteren starken, inhomogenen Magnetfeld überlagert wird. Die Spins werden dann durch die Ausrichtung im Magnetfeld umgeklappt. Bestimmte Kerne lassen nur zwei Einstellungsmöglichkeiten zu: in Richtung des Magnetfeldes (parallel) oder entgegengesetzt dazu (antiparallel). Abschalten des Magnetfeldes lässt nun die Spins wieder in ihre Ruhelage zurückkehren (relaxieren): dieser Vorgang, eine Zustandsänderung von einem energetisch höheren in einen niederenergetischen Zustand ist mit der Emission eines Photons verbunden. In diesem Fall sind es Radiophotonen mit einigen MHz Strahlungsfrequenz. Diese Photonen sind das eigentliche Messsignal in der NMR und können mit einer photoempfindlichen Anordnung registriert werden. Das räumlich inhomogene Magnetfeld dient einer genauen Ortsauflösung des Signals, um die tomographischen Daten nach der Messung visualisieren zu können.

21cm-Linie in der Astronomie

In der Astronomie gibt es ebenfalls einen wesentlichen Beobachtungsindikator, der auf der Spin-Physik beruht: der Hyperfeinstrukturübergang im neutralen Wasserstoff (HI), der als 21cm-Linie im Radiobereich messbar ist. Dieser Übergang beruht auf den unterschiedlichen Einstellungsmöglichkeiten des Spins von Elektron und Proton (im Isotop H-1) zueinander: die Spinorientierungen können parallel oder antiparallel sein. Der antiparallele Zustand ist energetisch niedriger und der Grundzustand des atomaren Wasserstoffs. Wasserstoff ist das häufigste Element im Universum. Deshalb kommt es trotz hoher Lebensdauer von 1.1 × 10¹⁰ Jahre des energetisch angeregten Zustands zu einer signifikanten Emission von Photonen mit der zwischen diesen Energieniveaus korrespondierenden Frequenz von 1.42 GHz oder 21.1 cm Wellenlänge. Das interstellare Medium wird mit dieser Radiostrahlung weiträumig kartographiert und verrät damit die Verteilung des neutralen Wasserstoffs (21cm-Tomographie).

Spin-Netzwerke (engl. spin network) wurden 1971 von dem Relativisten Roger Penrose erfunden und stellen einen kombinatorischen Zugang zur Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) dar. Dieser mathematische Formalismus wurde in der Loop-Quantengravitation (LQG) wieder entdeckt und erweitert. Spin-Netzwerke haben die Wilson-Loops als mathematische Orthonormalbasis des LQG-Hilbert-Raums abgelöst. Sie bestehen schematisch aus Knoten und Linien und stellen gerade den quantisierten Raum dar, den die LQG nur aus den Konzepten der ART und der Quantenmechanik (siehe Quantentheorie) abzuleiten vermag. Umordnungen im Spin-Netzwerk definieren dann einen lokalen Zeitbegriff und münden in den Spinschaum. Eine ausführliche Beschreibung ist unter Loop-Quantengravitation nachzulesen.

Der Begriff des Spinschaums (engl. spin foam) wurde in der Loop-Quantengravitation (LQG) geprägt, einer Quantengravitation, die einen anderen Ansatz verfolgt, als die Stringtheorien. Unter Spinschaum versteht man die Gesamtheit zeitlich sich entwickelnder Spin-Netzwerke. Ein Spin-Netzwerk ändert dabei sprungartig seine Knoten-Linien-Struktur. Darin sehen die Loop-Theoretiker Änderungen des Quantenzustands der Raumzeit. Die schaumige Struktur offenbart sich erst auf den winzigen Skalen der Planck-Skala, also auf charakteristischen Längenskalen von nur 10^-33 cm.

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© Andreas Müller, August 2007

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