Astro-Lexikon W 2

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Die Wellenfunktion, üblicherweise symbolisiert durch den griechischen Buchstaben Ψ, beschreibt in der Quantentheorie ein mikroskopisches Teilchen.

Von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik

In der klassischen Mechanik bestimmt man Teilchenbahnen, indem man das Bewegungsproblem, nämlich die Bewegungsgleichung, löst. Das Resultat ist eine Teilchenbahn, die von bestimmten Einstellparametern abhängen mag, aber wohl definiert und diskret ist.
In der Quantenmechanik löst nun die Wellenfunktion das Konzept der Teilchenbahn ab (sie muss aber noch geeignet interpretiert werden, dazu später) und löst ebenfalls eine quantenmechanische Bewegungsgleichung: die berühmte Schrödinger-Gleichung. Wie wir sehen werden ist dann die Bahn des quantenmechanischen Teilchens, des Quants, nicht mehr so gut bestimmt.

Eigenschaften der Wellenfunktion

Da die Wellenfunktionen quantenmechanische Teilchen beschreiben, müssen sie auch alle Eigenschaften von Teilchen enthalten können. Die Quantenphysiker nennen diese Eigenschaften Quantenzahlen und meinen damit z.B. die Masse des Teilchens, die elektrische Ladung, den Spin und den Isospin. Weiterhin hängt die Wellenfunktion von den Raumkoordinaten und der Zeit ab.

Wahrscheinlichkeitswelle

Die Wellenfunktion ist eine skalare Verteilungsfunktion bestimmter Amplitude (Wellenamplitude), die im Allgemeinen vom Ort und der Zeit abhängt und außerdem durch die Teilcheneigenschaften parametrisiert ist. Ein quantenmechanisches Problem gilt als gelöst, wenn der charakteristische Verlauf der Wellenfunktion in den Koordinaten bekannt ist. Das klassische Punktteilchen ist nicht mehr an einem bestimmten Punkt in Raum und Zeit lokalisiert, sondern in Form der Wellenfunktion 'verschmiert'. Dabei ist nicht die Wellenfunktion selbst von Bedeutung, sondern ihr Absolutquadrat. Denn die Wellenfunktion kann auch komplexwertig sein. Absolutquadrate sind reellwertig. Anmerkung: Ein Absolutquadrat berechnet man immer dadurch, dass man eine gegebene komplexe Größe mit der zugehörigen komplex konjugierten Größe (symbolisiert mit einem zusätzlichen Stern, siehe Gleichung oben) multipliziert. Diese Verteilung des Absolutquadrats (nicht der Wellenfunktion selbst!) wird als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiert. Eine höhere Wahrscheinlichkeit das Quant anzutreffen wird dort erwartet, wo das Absolutquadrat größer ist.

Welle-Teilchen-Dualismus

In der Quantenphysik können sich Teilchen als Welle oder als Teilchen verhalten, d.h. in dem einen Experiment eignen sich die Welleneigenschaften zur Klärung der Beobachtung; in einem anderen eignen sich die Teilchen- oder Korpuskulareigenschaften. Dieses Phänomen heißt Welle-Teilchen-Dualismus und ist charakteristisch für Quanten. Dieser Dualismus gilt somit beispielsweise für Licht, genauer gesagt für Photonen, aber auch für Elektronen, für das Neutrino oder für den Atomkern.

Mikrowelt ist prinzipiell verschwommen

Hinzu kommt eine weitere Komplikation in der Quantenwelt: Es ist für quantenmechanische Beobachter nicht möglich, gewisse Eigenschaften eine Quants gleichzeitig zu messen: Ein Quantenbeobachter kann entweder den Ort oder den Impuls (die Geschwindigkeit) eines Quants messen. Ein Quantenbeobachter kann aber auch nur entweder die Energie oder die Zeit messen. Diese Unschärfen werden in der Heisenbergschen Unschärferelation zusammengefasst.

Zum quantenmechanischen Messprozess

Was mit der Wellenfunktion beim quantenmechanischen Messprozess geschieht, wird im Eintrag Kopenhagener Deutung erläutert. Die Interpretation birgt grundlegende Konsequenzen für unser Weltverständnis.

Dieses Postulat wurde 1923 von H. Weyl entworfen und besagt, dass sich die Galaxien im Universum wie 'Elementarteilchen' in einer Flüssigkeit bewegen sollen. Ein den Raum durchdringendes Substrat kann in diesem Sinne als eine ideale Flüssigkeit angesehen werden, weil sich die Geodäten nur einem singulären Punkt in der Vergangenheit (und evt. auch Zukunft) schneiden. Die Materie (Galaxien) besitzt daher in jedem Punkt der Raumzeit eine eindeutige Geschwindigkeit.

Der Weyl-Tensor oder auch konforme Tensor genannt wurde benannt nach dem deutschen Mathematiker Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 - 1955). Dieser Tensor 4. Stufe ist relativ kompliziert und kann zunächst für beliebige Dimensionen n allgemein notiert werden. In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) gilt n = 4, weil Raumzeiten durch eine Zeitdimension und drei Raumdimensionen charakterisiert sind.

Berechnung des Weyl-Tensors

Anhand der Definitionsgleichung oben sieht man unmittelbar, dass der Weyl-Tensor ein recht kompliziertes Gebilde ist, das schon bei einfachen Raumzeiten nur mit einigem Aufwand zu berechnen ist. Es sei denn man nutzt so genannte computer-algebraische Systeme, die Tensorrechnungen am Computer bequem und schnell erlauben.
Die Gleichung zeigt auch, dass sich der Weyl-Tensor aus dem Riemann-Tensor (Krümmungstensor; R mit vier Indizes), dem Ricci-Tensor (R mit zwei Indizes) und dem Ricci-Skalar (R ohne Indizes) berechnen lässt.

Symmetrien

Neben den Symmetrien des Riemann-Tensors besitzt der Weyl-Tensor eine zusätzliche Symmetrie: er ist spurfrei, das heißt die Summe seiner Diagonalelemente verschwindet. Die Diskussion seiner Symmetrieeigenschaften lässt eine Klassifikation der Vakuum-Raumzeiten zu, die unter der Petrov-Klassifikation bekannt ist.

Indikator der Krümmungseigenschaften

Physikalisch ist der Weyl-Tensor besonders von Bedeutung, weil er sich zur Untersuchung der Krümmungseigenschaften von Raumzeiten eignet. Aus Riemann-Tensor und Weyl-Tensor lassen sich Riemannsche und Weylsche Invarianten bestimmen, die nicht vom Koordinatensystem abhängen. Dazu gehört auch der Kretschmann-Skalar. Eine Diskussion solcher Größen macht klar, wo die Krümmung besonders stark oder besonders schwach ist. Das erleichtert das Auffinden von Krümmungssingularitäten und die Charakterisierung als asymptotisch flache Raumzeit.

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung der Quantentheorie beschreibt eindeutig die Dynamik der Wellenfunktion, also deren zeitliche Entwicklung. Lösungen der Schrödinger-Gleichung verraten also den Zustand des Quantensystems zu einem Zeitpunkt t und an einem Ort r (Vektor).

von Schrödinger zu Wheeler-DeWitt

Eine relativistische Formulierung der stationären Schrödinger-Gleichung kennt man als die Wheeler-DeWitt-Gleichung. Sie ist Gegenstand der Quantenkosmologie. Man erhält diese Gleichung, wenn man die Relativitätstheorie in Hamiltonsche Form umschreibt. Dieser Zugang ist bereits in der klassischen Mechanik bekannt, besitzt jedoch eine so allgemeine Formulierung, dass man ihn auch auf andere Theorien übertragen kann. Wichtig ist die Anmerkung, dass die Wheeler-DeWitt-Gleichung nicht kovariant ist. Das verwundert an sich nicht, wenn man berücksichtigt, dass die Schrödinger-Gleichung im Rahmen der nicht-relativistischen Quantenmechanik abgeleitet wird. Die Verletzung der Kovarianz manifestiert sich darin, dass bestimmte raumartige Hyperflächen ausgezeichnet sind. Außerdem gilt die Wheeler-DeWitt-Gleichung nur punktweise. Deshalb sind etwaige Renormierungsverfahren erforderlich.
Technisch muss man die Raum-Zeit-Symmetrie der Allgemeinen Relativitätstheorie wieder aufbrechen und in Raum und Zeit separieren. Diese als ADM-Formalismus (nach den Relativisten Arnowitt, Deser und Misner) bekannte Technik zeichnet raumartige Hyperflächen aus, deren Blätterung (Foliation) den Ablauf der Zeit darstellt: von einer Hyperfläche auf die andere ändert sich der kanonische Zeitparameter. Im üblichen Hamiltonschen Formalismus berechnet man nun die generalisierten kanonischen Impulse und die kanonisch konjugierte Variable aus den Ableitungen der Lagrange-Dichte. Integration liefert schließlich die Hamilton-Funktion. Sie ist der wesentliche Operator der Wheeler-DeWitt-Gleichung, die formal der (stationären) Schrödinger-Gleichung (zum Energieeigenwert null) sehr ähnelt. Die Wellenfunktion wird nun allerdings als die 'Wellenfunktion des Universums' bezeichnet. Sie ist auf einem unendlich-dimensionalen Superraum der Raumzeit-Geometrien und aller Materiefelder definiert.

So geht's weiter: Randbedingungen fixieren

An diese hyperbolische, partielle Differentialgleichung muss man nun Randbedingungen stellen, wie beispielsweise Vilenkin und Linde vorschlugen. Sie leiteten eine Analogie zum quantenmechanischen Tunneleffekt ab, das man 'Quantentunneln aus dem (bzw. in das) Nichts' nannte. Dies erklärte sich daraus, weil ein Wahrscheinlichkeitsstrom (mit der üblichen quantenmechanischen Definition) aus dem (bzw. in den) Superraum hinaus fließt.
Hartle und Hawking gaben eine alternative Randbedingung an, die 'no-boundary-condition'. Hier ist der Rand der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit de facto immer derselbe. Das Problem dieses Zugangs über Pfadintegrale liegt darin, dass die Wellenfunktion des Universums dann nicht eindeutig festgelegt werden kann, weil eine Auswertung des Pfadintegrals in der komplexen Ebene zu verschiedenen Ergebnissen führt, je nachdem welchem Integrationsweg man folgt.

Erzeugung und Vernichtung ganzer Universen!

In der Quantenkosmologie gibt es auch den vertrauten Apparat der kanonischen Quantisierung. So kann man Vielteilchenzustände, Baby-Universen genannt, aus Vakuumzuständen, voids genannt, durch Anwendung von Erzeugungsoperatoren erzeugen. Allerdings wird die zugehörige Wheeler-DeWitt-Gleichung noch komplexer und sogar nicht-linear, weil Wechselwirkungen zwischen diesen Zuständen berücksichtigt werden müssen. Die quantenmechanische Teilchenerzeugung und -vernichtung entspricht in dieser Anwendung auf den Kosmos der Erzeugung und Vernichtung von Universen! Der erkenntnistheoretische Inhalt dieser Theorie ist immens.

Der zeitliche Aspekt

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist in ihrer fundamentalen Formulierung unabhängig vom Parameter Zeit! Es gibt zwar einen Zeitparameter, der die Foliation der Raumzeit in Hyperflächen bestimmt. Die Foliation ist jedoch vollkommen willkürlich! Daher ist auch der resultierende Zeitbegriff nicht eindeutig. Es muss nun untersucht werden, ob die Quantentheorien verschiedener Foliationen ('Eichungen') unitär äquivalent sind. Träfe dies zu, wäre die gewählte Foliation irrelevant. Erst spezielle Lösungen der Wheeler-DeWitt-Gleichung (wenn man den lokalen Beobachter wieder einführen muss) leiten wieder auf einen Ordnungsparameter, den man mit der Zeit identifizieren kann. Dies führte in der Vergangenheit zu der Frage nach einer 'Physik ohne Zeit'.

Lesehinweis

• Web-Essay: Was ist Zeit?

Siehe im Zusammenhang unter Planckscher Strahler.

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© Andreas Müller, August 2007

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