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Die Zersägung des Rhomben- dodekaeders
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Ein bisschen Symmetriebrechung: Mit der Säge an den gewucherten Würfel
Zu den Helden der letzten Folgen zählte das Rhombendodekaeder, jener merkwürdige Körper, der von zwölf gleichen Rauten begrenzt wird und mit dem man den Raum so schön lückenlos vollstapeln kann. In gewissem Sinne ist er ein etwas groß geratenes Kind des Würfels: Wenn man den Raum schachbrettmäßig mit weißen und schwarzen Würfeln füllt und die weißen sich auf Kosten der schwarzen ausbreiten lässt, werden es Rhombendodekaeder. Als gutes Kind hat das Rhombendodekaeder vom Würfel einige wesentliche Eigenschaften geerbt, darunter die Symmetrien: Jede Drehung oder Spiegelung, die den Würfel in sich selbst überführt, lässt auch das Rhombendodekaeder unverändert.
Symmetrien sind schön, edel - und manchmal ein bisschen langweilig. Oder anders ausgedrückt: In die so perfekt geordnete Raumfüllung durch Rhombendodekaeder komt etwas neues Leben, wenn man die Symmetrie etwas bricht. Dazu eignet sich der mickrige - korrekt ausgedrückt: symmetrieärmere - kleine Bruder des Würfels: das Tetraeder. Man teile die Ecken des Würfels in zwei Gruppen (die "roten" und die "blauen") derart, dass jede Würfelkante Mitglieder verschiedener Gruppen verbindet. Das geht, und zwar auf genau eine Weise. Die vier Ecken jeder Gruppe bilden ein Tetraeder, und beide Tetraeder zusammen bilden Keplers "Stella octangula", den Durchdringungskörper zweier dualer Tetraeder, den man auf der Titelseite dieser Spezial-Serie bewundern kann.
Zersägen wir also das Rhombendodekaeder tetraedermäßig. (Sie erinnern sich: Mit dem Oktaederstumpf hatten wir dieses Vergnügen in der letzten Folge, und es kamen ganz interessante Schoenfliese dabei heraus.) Und das geht so: Die Ecken des Würfels sind ja auch Ecken des Rhombendodekaeders, und zwar die stumpfen Ecken, sprich da, wo sich je drei Rauten mit ihren stumpfen Winkeln treffen. Wir greifen uns jeweils eine rote Würfelecke samt den drei daran hängenden Rauten heraus und ergänzen diese Dreiergebilde durch drei weitere Rauten, die jede parallel zu einer bereits vorhandenen Raute liegen. Oder anders ausgedrückt: Wir führen ebene Schnitte durch das Rhombendodekaeder, die parallel zu den drei genannten Außenflächen verlaufen und bis zum Mittelpunkt des Rhombendodekaeders reichen. Dadurch zerfällt das Rhombendodekaeder in vier gleiche Einzelteile, eines für jeden roten Eckpunkt. Und diese sind wieder höchst regelmäßig: Jedes ist von sechs gleichen Rauten begrenzt, insbesondere sind alle Kanten gleich lang. Deswegen hat das Ding den feierlichen Namen Rhomboeder. Man kann es sich durch eine dreifache Scherung aus einem Würfel entstanden denken. Scherung heißt: Man hält eine Fläche des Gebildes fest und verschiebt die dazu parallele Fläche in ihrer Ebene. Der Rest vom Körper geht dabei mit wie eine zähe, klebrige Masse. Das macht man für jedes der drei Paare paralleler Seitenflächen (die bei jedem Schritt der Prozedur parallel bleiben), und fertig ist das Rhomboeder.
Vor dem Zersägen haben die Rhombendodekaeder den Raum lückenlos ausgefüllt, dann gilt das nach dem Zersägen natürlich auch für die Rhomboeder. Man könnte sie auch standardmäßig einfach parallel stapeln oder einen ganzen Würfelstapel nach obigem Verfahren dreifach verscheren, was auf dasselbe hinausläuft, außer dass man sich in Gedanken ziemlich klebrige Finger holt; aber dafür haben wir ja gerade die Symmetrie gebrochen, dass es nicht so langweilig wird.
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