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Baumanns Zylinderschnitt O10
Baumanns Zylinderschnitt O15
Baumanns Zylinderschnitt O16
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Die Zylinderschnitte von Eduard Baumann
Kann man diese Konstruktionsideen irgendwie verallgemeinern? Im Prinzip schon. Man kann Eistüten auf die Flächen anderer platonischer Körper aufsetzen, oder auf die Flächen archimedischer Körper. Wenn man sich auf einen einheitlichen Öffnungswinkel festlegt, werden die Kegel zu den Dreiecken kleiner als die zu den größeren Flächen, was sicher einen besonders neckischen Igel ergäbe. Mit den Konservendosen kann man bestimmt auch noch an anderen Körpern herumspielen. An den Kanten eines Würfels angebracht, ergeben sie einen echten Zwölfzylinder! Aber ich muss zugeben, ich hatte keine Lust, diese Entwürfe weiter auszuarbeiten. Irgendwie konnte ich mir nicht vorstellen, dass dabei wesentlich Neues herauskommt. Aber vielleicht fehlt es mir an dieser Stelle nur an Fantasie, und Sie, verehrte Leser, konstruieren die abenteuerlichsten Krummkörper. Bitte erzählen Sie mir davon!
Einer hat es mir schon erzählt: der Physiker Eduard Baumann, der in der Nähe von Fribourg (Schweiz) wohnt und Lesern von Spektrum der Wissenschaft vielleicht noch geläufig ist. Er ist der Erfinder der Kissen maximalen Volumens: Wie faltet man ein Blatt Papier, das aus zwei aneinander hängenden Quadraten besteht, so, dass es ein maximales Volumen vollständig einschließt? Die beste bisher bekannte Lösung ist der Zipfelburger (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1995, Seite 10).
Baumann macht krumme Polyeder aus Stücken vom Zylindermantel. Am besten versteht man seine Konstruktionen, indem man sich einen Hobel oder eine Fräsmaschine für Besenstiele vorstellt. Man schiebt irgendein Stück Holz in die Öffnung dieser Maschine, und am anderen Ende kommt ein perfekt runder, eben zylindrischer, Besenstiel heraus. Man nehme diesen Besenstiel und schiebe ihn in einer anderen Richtung nochmals durch das Gerät, und dann in einer dritten Richtung … Das technisch zu realisieren, ohne dass einem der halbgeschliffene Holzklotz um die Ohren fliegt, ist sicher alles andere als einfach, soll uns aber hier nicht kümmern; ein Mathematiker darf über solche technischen Probleme großzügig hinwegsehen.
Was ist das Ergebnis? Wenn man den Holzklotz in zwei zueinander senkrechten Richtungen rundhobelt, ist das Ergebnis das Kreuzrippengewölbe. Na ja, nicht so richtig; eigentlich ist es die Luft unterm Kreuzrippengewölbe, plus deren Spiegelbild bezüglich des Bodens. Also was jetzt? Die einfachste Gewölbeform ist ein Tunnel mit halbkreisförmigem Querschnitt, das, was die Architekten ein Tonnengewölbe nennen. Wenn zwei solcher Tunnel gleichen Querschnitts rechtwinklig aufeinander treffen, dann gibt es ein quadratisches Stück Grundfläche, das beiden Tunneln gemeinsam ist, und die Kurven, in denen sich die Gewölbe schneiden, liegen genau über den Diagonalen dieses Quadrats. Dieses Stück, das beiden Tunneln gemeinsam ist, meine ich. Man muss natürlich noch die beiden Halbzylinder unterirdisch zu Vollzylindern ergänzen.
Aber Baumann beschränkt sich nicht auf zwei zueinander senkrechte Richtungen. Im Prinzip kann er den Klotz beliebig oft durch die Fräse schieben. Das Ergebnis wird natürlich umso interessanter, je symmetrischer die Richtungen der Zylinderachsen gewählt werden. (Obgleich: Baumann hat in seiner Kollektion auch ziemlich wilde Zylinderschnitte. Da gibt es zum Beispiel eine Nord-Süd-Achse durch eine gedachte Kugel plus sieben weitere Achsen, die die Kugeloberfläche an den Ecken eines regelmäßigen Siebenecks mit Zentrum im Nordpol durchstoßen.)
Bei der Wahl der Richtungen kann man sich an die uns wohlbekannten Familienregeln, sprich Symmetriegruppen halten (vergleiche Folge 20). So hobelt man das Holz beispielsweise in den drei Richtungen, die den vierzähligen Symmetrieachsen des Würfels/Oktaeders entsprechen; oder in den sechs Richtungen, die den fünfzähligen Symmetrieachsen des Ikosaeders/Dodekaeders entsprechen; und die zwei- und dreizähligen Symmetrieachsen gibt es ja auch noch.
Die Bilder, die ich Ihnen hier zeige, habe ich rein nach meinem persönlichen Geschmack aus Baumanns reichhaltigem Sortiment ausgewählt. Und wie es der merkwürdige Zufall so will, gehören sie alle drei zur Familie der Fünfzähligen. (Ich gebe zu, die mag ich besonders.) Man muss sich die Bilder so vorstellen, dass nach jedem Fräsgang anstelle des Messers ein Pinsel über die soeben neu geschaffene Oberfläche streicht, und zwar jedes Mal in einer neuen Farbe. So sieht man Reihen von mehr oder weniger regelmäßigen Vierecken gleicher Farbe als "Bauchbinden" über den ganzen Körper verlaufen.
Eduard Baumannn hat noch viel mehr Zylinderschnitte berechnet und grafisch dargestellt. Seine Website private.mcnet.ch/baumann zeigt eine reiche Auswahl.
Kann man diese Zylinderschnitte aus Karton basteln? Theoretisch schon; Baumann hat zu jedem dieser Körper umfangreiche Berechnungen von Längen und Winkeln angestellt, aus denen man sicherlich die Formen der Einzelteile herleiten könnte. In der Praxis wäre das Ergebnis wahrscheinlich unerfreulich, da es zu kugelähnlich ist und deswegen dem zufälligen Eindellen kaum Widerstand entgegensetzen würde.
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