Einleitung

Ziel des Kurses war, die Teilnehmer (Gruppenfoto) mit einer Entdeckung bekannt zu machen, die vor noch nicht langer Zeit (1984) großes Aufsehen erregt hat: die Quasikristalle, Festkörper mit einer Struktur, die es eigentlich gar nicht geben dürfte. Es stellte sich heraus, dass erst wenige Jahre zuvor die Mathematiker, nur dem fachtypischen Spieltrieb folgend, die theoretischen Grundlagen für das Verständnis der Quasikristalle bereitgestellt hatten: die nichtperiodischen Parkettierungen, insbesondere die Penrose-Muster. Für dieses Verständnis muss man sich in (zum Beispiel) fünfdimensionale Räume begeben.

Der Weg zu diesem großen Ziel war lang und ziemlich anstrengend. Aber es gab viele schöne Blumen unterwegs, und wir haben uns auch ein paar kleine Abstecher genehmigt.

Das - zunächst - Auffälligste an den Quasikristallen ist ihre Symmetrie. Die kann nämlich in einem richtigen Kristall gar nicht vorkommen. Es gibt Quasikristalle mit acht- und zwölfzähliger, vor allem aber mit fünfzähliger Symmetrie. Deswegen handelt die Ouvertüre von der Zahl, die im regelmäßigen Fünfeck allenthalben vorkommt: t (tau), das Verhältnis des Goldenen Schnitts (Stephan Reitmeier). Sie ist so schön - und so irrational -, dass wir alsbald alle zu Tauisten wurden.

Es trifft sich gut, dass t auch eine bedeutende Rolle in der Folge des alten Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, spielt. Der hatte seine Fibonacci-Folge mit der Vermehrung der Karnickel motiviert - ziemlich unbiologisch, aber das störte uns abstrakte Denker nicht weiter. Wenn man die großen und die kleinen Karnickel schön brav immer Tochter neben Mutter stellt, entsteht nämlich das, was man mit Fug als einen eindimensionalen Quasikristall bezeichnen kann (Denise Dudek). Ihr hättet's erleben können beim Abschlussabend, wenn ihr nicht so ungeduldig gewesen wärt ...

Steffen Fuchs hat uns dann in die hochdimensionalen Räume eingeführt, uns vor allem die Benutzung der Krücken (Vektoren, Matrizen und so Zeug) erklärt, mit denen man sich dort mühsam vorantastet. Vorstellen kann man sich ja nicht mehr viel, auch das Herumgehampel mit rotierenden Schultischen hilft nur wenig. Und damit man sieht, dass dieser abstrakte Kram auch mit sehr konkretem Geld zu tun hat, hat uns Christian Schmaltz etwas zur linearen Optimierung erzählt: Die Isoprofitable schneidet die Roggen- und die Weizenachse und vielleicht noch ganz viele andere Achsen im hochdimensionalen Raum.

Britta Späth hat von einer anderen Seite an das Thema herangeführt: Was gibt es für Pflasterungen der Ebene, und wie kann man einen Überblick über sie gewinnen? Symmetriegruppen sind ein wesentliches Hilfsmittel.

Eine Dimension höher hat uns Natalie Wood die platonischen Körper vorgestellt. Nicht weil wir den Raum damit pflastern wollten, sondern weil die beiden großen , Dodekaeder und Ikosaeder, meistens ihre Finger im Spiel haben, wenn im Raum etwas eine fünfzählige Symmetrie hat.

Robert Kremser ist dann mit der ihm eigenen Furchtlosigkeit in beliebig hohe Dimensionen aufgestiegen. Wenn da lauter Punkte gitterartig angeordnet sind - wie in einem echten kubischen Kristall -, und jeder besteht eifersüchtig auf seiner Privatsphäre, dann sind diese Privatsphären (offiziell: Voronoizellen) eben eine Zerlegung (Pflasterung) des Raums, auch wenn der fünfdimensional ist. Fünfdimensionaler Camembert hat eine vierdimensionale Schimmelschicht - muss man sich ehmt dran jewöhnen.

Wie kommt man nun von der Regelmäßigkeit des kubischen Gitters auf diese merkwürdige Quasiperiodizität? Indem man einen geeigneten Ausschnitt des Gitters einen geeignet - schön irrational, t-mäßig - ausgewählten Schatten werfen lässt. Das ist das Streifenprojektionsverfahren, das uns Sabine Fischer erklärt hat. Marina Galovic hat dazu den Formalismus der atomaren Hyperflächen gebracht. Ist eigentlich genau dasselbe, sagt der Mathematiker. Hinterher, wenn er's begriffen hat ...

Wenn man's begriffen hat, muss man auch nicht mehr unbedingt in die höheren Dimensionen steigen. Mit dem Gridformalismus kriegt man quasiperiodische Muster elegant in dem Raum erzeugt, in dem sie liegen. Florian Fuchs hat uns das mit einem selbstgeschriebenen Programm eindrucksvoll vorgemacht.

Dann wurde es allmählich physikalisch. An den Ecken der Rauten oder Parallelepipede (das ist etwas ganz Schräges) stellen wir uns Atome vor, und was machen die Atome? Sie flippen rum. Wenn man nämlich den Streifen vom Streifenprojektionsformalismus ein bisschen verschiebt oder krummbiegt, tauschen ein großes und ein kleines Karnickel die Plätze, oder in einem Quasikristall ändert sich lokal die Anordnung der Bausteine; das läuft darauf hinaus, dass ein Atom ein Stückchen beiseite rückt - flipp. Wenn das viele Atome machen, können sie ziemlich weit durch den Quasikristall (immerhin einen Festkörper) durchdiffundieren. Christiane Dargatz erzählte uns das - und flippte nach Amerika.

Aber wenn ein Quasikristall erst heranwächst: Woher wissen die Atome, wo sie hinsollen? Das wissen die Physiker auch noch nicht so genau. Aber Dennis Kirchhoff hat uns die interessantesten Erklärungsversuche vorgetragen. Und wir haben am vorletzten Tag im Speisesaal einen Quasikristall in zwei Dimensionen durch Anlagern aufgebaut.

Was ist Selbstähnlichkeit? Wenn man kariertes Papier nimmt, jede zweite (waagerechte und senkrechte) Linie entfernt und das Ganze auf die Hälfte verkleinert, kommt dasselbe raus wie zu Anfang. Das ist langweilig; aber diese Eigenschaft der Selbstähnlichkeit vererbt sich, wenn man es geschickt anstellt, auf den zweidimensionalen Schatten von fünfdimensionalem kariertem Wasweißich. Und in dem Schatten - dem Penrose-Muster und anderen - ist sie auf einmal spannend (Paul Bruhn).

Vor lauter Quasikristallen hätten wir fast vergessen, wie gewöhnliche Kristalle aus Atomen aufgebaut sind. Anne Müller-Lohmann hat uns auf die Sprünge geholfen. Und zum krönenden Abschluss hat uns Matthias Hullin erklärt, wie echte Quasikristalle so sind und wie man ihrer Struktur mit Röntgenbeugung auf die Schliche kommt.

Da war doch noch was? Wir haben PostScript gelernt, diese Mixtur aus Datenformat und Programmiersprache, mit der man so elegant Selbstähnliches programmieren kann. Und wir wollten die Penrose-Parallelepipede handgreiflich herstellen, aus Holz. Aus Pappe haben wir ja allerlei hingekriegt; aber die Klötze! Die dicken sind ganz ordentlich geworden; aber für die dünnen hat dann die - eigentlich sehr edle - Kreissäge samt Tisch doch nicht gereicht. Die Ballade von den Klötzken erzählt die traurige Geschichte - aber wir geben nicht auf. Vielleicht können wir zum Nachtreffen echte Penrose-Rhomboeder anbringen.

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