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Gitter und Voronoikomplex (Robert Kremser)

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Im Abschnitt von Britta Späth wurden Muster und Parkettierung von Ebenen beprochen. Dieses Kapitel wird einige neue Begriffe erklären, die zu einer weiteren Beschreibung periodischer Muster führen. Der Begriff des Gitters ist grundlegend für die Entstehung eines periodischen Musters.

Wenn man in einem Tile, mit welchem man eine Ebene periodisch parkettieren kann, indem man es in der Ebene verschiebt, den Schwerpunkt P festlegt und dann mit diesem Tile eine Ebene periodisch parkettiert, so bilden die Schwerpunkte ein Gitter (bei diesem Tile, das aus kleinen Quadraten zusammengesetzt ist, ist das Gitter ebenfalls quadratisch). Das bedeutet, dass man durch zwei Schwerpunkte eine Gerade ziehen kann, auf der unendlich viele Punkte des Gitters liegen. Die Strecken von einem Gitterpunkt auf der Geraden zu einem benachbarten sind immer gleich lang. Verschiebt man nun diese Gerade auf den nächstgelegenen Gitterpunkt (der nicht schon auf der Geraden liegt), so liegen auch auf der verschobenen Geraden unendlich viele Gitterpukte, für die das gleiche gilt.

Die Streckenlänge zweier benachbarter Gitterpunkte der Gerade und die Richtung dieser Strecke definieren einen Vektor a₁. Die Verschiebungslänge und -richtung zu einer benachbarten, parallelen Gerade definieren einen weiteren Vektor a₂. Da die Vektoren a₁ und a₂ nicht die gleiche Richtung haben, nennt man sie linear unabhängig (man kann einen Vektor nicht durch den anderen ausdrücken). Durch ganzzahlige Linearkombination dieser Vektoren kann man nun das Gitter konstruieren. In drei Dimensionen muss man noch einen Vektor hinzufügen, um den Raum zu "vergittern". Die Anzahl der Bildungsvektoren ist gleich der Dimension des Gitters.

Mathematisch beschreibt man ein Gitter L^d (d = Dimension des Gitters) als die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen seiner d linear unabhängigen Bildungsvektoren a_i im Raum R^d. Dies kann man folgendermaßen ausdrücken:

Wenn man sich vorstellt, dass jeder Gitterpunkt eine "Privatsphäre" hätte, so sollte der Gerechtigkeit halber jeder Gitterpunkt genauso viel Platz zum Leben bekommen wie jeder andere. Diese "Privatsphäre" besteht aus Punkten. Nun kann man sagen, dass dieser Bereich die Menge aller Punkte ist, die einem Gitterpunkt näher ist als jedem anderen. (Es geht also erstmal nicht nach Gerechtigkeit zu, sondern nach Habgier! Jeder Gitterpunkt grapscht sich hastig alle Punkte der Umgebung, an die er schneller drankommt - weil sie ihm näher liegen - als jeder andere. Da aber alle Gitterpunkte in genau derselben Situation sind - daher der Name Gitter -, stellt sich am Ende, o Wunder, doch Gerechtigkeit ein. In anderen Situationen kommen gerade die Punkte, die "enge" Freunde haben, schlechter weg als andere. - C. P.) Diesen Bereich nennt man Voronoizelle. Diese Punktmenge kann man in folgender Schreibweise zusammenfassen:

Die Voronoizelle V(q) eines Gitterpunktes q Î L^d ist definiert als:

Die Dimension einer Voronoizelle ist gleich der Dimension des Gitters, das heißt, ein Gitterpunkt im dreidimensionalen Raum hat als Voronoizelle ein Polyeder. Ein Gitterpunkt eines n-dimensionalen Gitters besitzt ein n-dimensionales Polytop als Voronoizelle. Ein Polytop ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung eines Polyeders.

Woher weiß ein Punkt, wie groß seine Privatsphäre ist? Dazu stellt man sich zunächst folgendem Problem.

In einer Ebene werden zwei Punkte A und B festgelegt, die nicht aufeinanderliegen. Nun soll die Ebene so geteilt werden, dass die Punkte der einen Hälfte der Ebene näher an A liegen als an B (oder höchstens genauso nah) und andersherum. Die Lösung erhält man, indem man auf der Strecke AB die Mittelsenkrechte g errichtet (Bild links). Die Gerade g teilt nun die Ebene, wie oben gewünscht. Außerdem sind die Punkte auf der Gerade Inhalt beider Punktmengen. Das heißt, die Gerade g ist die Schnittmenge der beiden "Raumhälften".

Wenn man diese Konstruktion auf ein Gitter bezieht, so muss man die Mittelsenkrechten aller direkt benachbarten Gitterpunkte konstruieren. Dies wird im rechten Bild dargestellt für die Umgebung eines Gitterpunktes. Die Mittelsenkrechten schneiden einander, und das entstehende Polygon schließt einen Bereich ein. Dieser Bereich ist die Voronoizelle des dargestellten Gitterpunktes. Bei den Kristallographen heißt sie Wigner-Seitz-Zelle. Die Gesamtheit aller Voronoizellen eines Gitters nennt man Voronoikomplex.

Bei der Voronoizellenkonstruktion in der dritten Dimension muss man in der Mitte der Strecke zwischen zwei Punkten eine senkrechte Ebene errichten, dann schneiden sich die einzelnen Ebenen und begrenzen somit die Vorronoizellen der einzelnen Gitterpunkte.

In einem zweidimensionalen Gitter werden die Voronoizellen durch Geraden (eindimensional / Kanten) und Eckpunkte (nulldimensional / Punkte) begrenzt. Die m-dimensionalen Oberflächenelemente einer Voronoizelle heißen m-Grenzen. In einem dreidimensionalen kubischen Gitter (Bild unten) sind die m-Grenzen Quadrate, Strecken und Punkte. Die Voronoizelle selbst ist ein Kubus (Würfel). In vierdimensionalen Gittern gibt es 0-, 1-, 2- und 3-Grenzen.

Die Gesamtheit aller Eckpunkte der Voronoizellen im Voronoikomplex ist wieder ein Gitter L^d*. Man nennt es das duale Gitter zum ursprünglichen Gitter L^d.

Die Eckpunkte aller Voronoizellen des Dualen L^d* bilden wieder das Gitter L^d. In Formeln: L^(d*)* = L^d. Daher der Name dual. Dual ist, wenn man zweimal dasselbe macht, kommt das Ursprüngliche wieder raus.

Das duale Gitter lässt sich definieren als:

Wie oben erklärt, stehen die Oberflächen einer Voronoizelle senkrecht auf den Strecken zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten. Nun gilt aber auch, dass jede eindimensionale 1-Grenze wiederum die Verbindungsstrecke eines Punktepaares im dualen Gitter ist, da sie zwei Eckpunkte der Voronoizelle verbindet. Sie steht senkrecht auf einer (d-1)-Grenze einer Voronoizelle des Gitters. Darum nennt man diese Grenzen auch duale m-Grenzen. Die Dimension der Grenze, die auf einer 1-Grenze senkrecht steht, ist um eins kleiner als die Dimension des Gitters. Allgemein gilt: Die Summe der Dimension einer m-Grenze P_m und ihrer dualen m-Grenze P_m^* ist gleich der Dimension d des Gitters L^d.

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