Streifenprojektionsformalismus (SPF) und Methode der atomaren Hyperflächen (AHF)
(Sabine Fischer, Marina Galovic)
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Die Mindestdimension des Hypergitters Ld ergibt sich aus der Anzahl der Vektoren, die man benötigt, um die Vertizes des Musters als ganzzahlige Linearkombination selbiger darzustellen. Je größer D ist, desto komplizierter wird die Berechnung. Deshalb wird man generell die kleinstmögliche Dimension verwenden.
Der einfachste Fall beim SPF ist die Projektion des Quadratgitters Z2 in einen eindimensionalen Unterraum R1. Das zweidimensionale Einheitsgitter Z2 wird von den beiden Vektoren e1 und e2 aufgespannt. Nun legt man eine Gerade E|| der Form y = mx in den R2, wobei die Steigung m irrational ist. E|| wird Parallelraum oder physikalischer Raum genannt. Die Steigung m muss irrational sein, wenn man ein quasiperiodisches Muster erhalten will.
Wenn nämlich m rational ist, m = p / q mit ganzen Zahlen p und q, dann geht die Gerade E|| durch unendlich viele Punkte des Z2, und zwar durch den Punkt (q, p) und alle seine ganzzahligen Vielfachen. So erhält man ein periodisches Muster. Die Zahl q ist die Länge der Periode, d. h. die Länge des Abschnittes, der sich wiederholt. Damit ein quasiperiodisches Muster entsteht, insbesondere keine Periode auftritt, muss also m irrational sein. Das bedeutet auch, dass E|| nur durch genau einen Punkt des Gitters Z2 geht.
Senkrecht zu E|| steht der Orthogonalraum E^.
Nun verschiebt man das Einheitsquadrat W2 des Gitters parallel zu E|| und erhält daraus einen Streifen S. Mit der Projektionsmatrix p|| projiziert man die Punkte in S senkrecht auf E|| und erhält dadurch ein Muster T. Dieses eindimensionale Muster besteht aus einer Abfolge von langen und kurzen Abschnitten.
Durch die Projektion p^ des Streifens S auf E^ erhält man den Akzeptanzbereich A. Der Akzeptanzbereich legt fest, welche Punkte auf E|| projiziert werden. Dies ist so zu verstehen, dass man zuerst jeden Punkt P Î Z2 mit p^ auf E^ projiziert und prüft, ob er innerhalb des Akzeptanzbereiches liegt. Diese Punkte werden dann auf E|| projiziert und ergeben das Muster.
Da E|| durch genau einen Punkt des Z2 geht, bedeutet das für den Streifen S, dass genau einmal zwei Punkte genau auf dem Rand von S liegen. Wenn man beide Punkte projiziert, führt das zu einem Defekt in der Parkettierung. Diesen Defekt kann man aber leicht vermeiden, indem man den Akzeptanzbereich als halboffenes Intervall definiert.
Verschiebt man den Streifen S in Richtung von E^, so erhält man eine Parkettierung derselben lokalen Isomorphieklasse. Das bedeutet, dass man jedes endliche Teilmuster des alten Musters auch im neuen findet.
Hat E|| die Steigung t-1, wobei t die Zahl des Goldenen Schnittes ist, so erhält man die Fibonacci-Kette. Für diesen Fall ergeben sich die folgenden Formeln für den Vektor z||, der E|| aufspannt, und die Matrix p||, die senkrecht auf E|| projiziert, entsprechend für E^:
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Um die Octonacci-Kette zu erhalten, nimmt man einfach die Steigung l-1.
Zu den zweidimensionalen Mustern, die man über den Streifenprojektionsformalismus erzeugen kann, gehört auch das oktagonale Ammann-Beenker-Kramer-Muster, das aus Rauten und Quadraten gleicher Seitenlänge zusammengesetzt ist (unten links). Zur Erzeugung dieses Musters benötigt man das vierdimensionale hyperkubische Gitter Z4. Der Hyperraum R4 wird in zwei Ebenen zerlegt, den Orthogonalraum E^ und den physikalischen Raum E||, welche aufeinander senkrecht stehen. E|| wird durch z0 und z1, E^ durch z2 und z3 aufgespannt.
| z0 = | 1 2 |
æ ç ç è |
Ö2 1 0 -1 |
ö ÷ ÷ ø |
z1 = | 1 2 |
æ ç ç è |
0 1 Ö2 1 |
ö ÷ ÷ ø |
z2 = | 1 2 |
æ ç ç è |
Ö2 -1 0 1 |
ö ÷ ÷ ø |
z3 = | 1 2 |
æ ç ç è |
0 -1 Ö2 -1 |
ö ÷ ÷ ø |
Man erhält jeweils vier Vektoren, die zwar nicht aufeinander senkrecht stehen, sich aber auch nicht durch ganzzahlige Linearkombinationen ineinander überführen lassen.
Das oktagonale Muster hat genau sechs Vertextypen, denen verschiedene Bereiche des Akzeptanzbereiches entsprechen. Der Akzeptanzbereich lässt sich aus sechs verschiedenen Flächen zusammensetzen, die jeweils achtmal vorkommen. Die Fläche in der Mitte (1) ist die Schnittfläche von genau acht Rauten. Dies bedeutet, dass ein Punkt, der bei der Projektion auf E^ in dieser Fläche landet, bei der Projektion auf E|| einen Vertex ergibt, der von acht Rhomben umgeben ist. Nehmen wir noch die Fläche am äußersten Rand (6). Diese ist die Schnittfläche von einem Quadrat und zwei Rauten. Die zugehörige Vertexkonfiguration 6 besteht aus einem Quadrat und zwei Rauten. Wie man sieht, kann man im Akzeptanzbereich erkennen, welche Vertexkonfigurationen im Muster vorkommen und welche nicht.
Aus dem Verhältnis vom Flächeninhalt eines Teilgebietes zum Gesamtflächeninhalt des Akzeptanzbereiches erhält man die relative Häufigkeit für die einzelnen Vertextypen. Dies wird auch als Polarenkalkül bezeichnet.
Ein anderes zweidimensionales Muster ist das Penrosemuster. Es benötigt eigentlich nur vier Vektoren, um alle Verbindungen zwischen den Punkten als ganzzahlige Linearkombination darstellen zu können. Das bedeutet, dass ein vierdimensionales Hypergitter für den Streifenprojektionsformalismus völlig ausreicht. Nun hat man aber erst ziemlich spät herausgefunden, welches vierdimensionale Hypergitter für den SPF geeignet ist. Man nahm zunächst das fünfdimensionale hyperkubische Gitter Z5. Der fünfdimensionale Hyperraum wird in den dreidimensionalen Orthogonalraum E^ und den zweidimensionalen Parallelraum E|| zerlegt. Das bedeutet, dass der Akzeptanzbereich ein dreidimensionaler Körper ist. Um genau zu sein: ein rhombisches Ikosaeder. Die Schnitte entlang der einzigen Symmetrieachse durch die Eckpunkte des rhombischen Ikosaeders sind hier zu sehen:
Wir betrachten wieder den einfachsten Fall, die Erzeugung eines eindimensionalen quasiperiodischen Musters.
Man geht auch hier von einem zweidimensionalen Gitter Z2 aus. Genau wie beim SPF werden die Geraden E|| und E^ in das Gitter gelegt. Nun zeigt sich der erste Unterschied zum SPF: Man hängt an jeden Gitterpunkt eine zu E|| senkrechte, eindimensionale Hyperfläche an. Die Hyperflächen stellen den punktgespiegelten Akzeptanzbereich dar, den es für jeden Punkt gibt. Der Schnittpunkt einer Hyperfläche mit E|| erzeugt einen Punkt des Musters.
(Ausblick in die Physik: Bei einem Quasikristall kann man sich vorstellen, dass in jedem Punkt eines quasiperiodischen Musters ein Atom sitzt. (Es gibt auch dreidimensionale quasiperiodische Muster.) Es muss aber nicht in jedem Punkt des Musters ein Atom derselben Sorte sitzen. Wie kriegt man raus, wo welche Atome sitzen? - Siehe den Beitrag von Matthias Hullin. C. P.)
Die eindimensionalen Hyperflächen kann man in zwei Bereiche einteilen, die durch den Gitterpunkt voneinander getrennt werden. Die beiden Abschnitte stellen hierbei zwei verschiedene Atomsorten dar. Wenn nun eine Hyperfläche E|| schneidet, kommt es darauf an, mit welchem Abschnitt der Hyperfläche E|| geschnitten wird, weil man auf diese Weise eines von zwei verschiedenen Atomen erhält.
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