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Der Gridformalismus (Florian Fuchs)

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Eine weitere Methode zur Erzeugung von quasiperiodischen Tilings, die 1981 von dem niederländischen Mathematiker de Bruijn entwickelt wurde, ist der Gridformalismus oder die Gridmethode (engl. grid: Gitter).

Diese Methode liefert eine größere Klasse von Tilings als die geometrischen Matching Rules (siehe den Beitrag von Dennis Kirchhoff) von Penrose (z. B. auch das Anti-Penrose-Tiling). Außerdem ist sie einfacher als die Streifenprojektionsmethode: Bei dieser (siehe den Beitrag von Sabine Fischer und Marina Galovic) gewinnt man ein Tiling im Raum R^d durch Projektion aus einem höherdimensionalen Raum Rⁿ. Im Gegensatz dazu arbeitet die Gridmethode nur im physikalischen Raum R^d. Deshalb kann auch leicht ein Computeralgorithmus dafür entwickelt werden, der zudem linear ist, d. h., dass die Rechenzeit pro Datenelement unabhängig von den verwendeten Dimensionen konstant bleibt.

Die im Folgenden angegebene allgemeine Vorgehensweise veranschauliche ich mit Hilfe meines Programms "DSA Gridmethode.exe" (zipped, 16 KB) für n = 4 und d = 2, wodurch ein oktagonales Ammann-Beenker-Kramer-Tiling entsteht.

Als erster Schritt muss R^d in Zellen aufgeteilt werden: Gegeben sei ein "Stern" von n Vektoren a_i (i = 1, ..., n) in dem d-dimensionalen Vektorraum E = R^d. Diese Vektoren heißen Grid-Vektoren. Senkrecht zu jedem Grid-Vektor konstruiert man eine Schar paralleler, äquidistanter (d-1)-dimensionaler Hyperebenen. Die Verschiebung gegenüber dem Ursprung wird mit g_i bezeichnet. Jede Parallelenschar heißt ein Grid. Alle Grids zusammen heißen bei 5 Vektoren Pentagrid, bei 6 Vektoren spricht man vom Hexagrid usw., bei den hier verwendeten vier Vektoren also Tetragrid.

Das Bild zeigt einen Stern von vier Ortsvektoren (Zwischenwinkel je 45 Grad) mit den senkrecht dazu stehenden vier Parallelenscharen (Grids).

Dieses Tetragrid ist regulär, weil sich im Gegensatz zu einem singulären nie mehr als zwei Geraden in einem Punkt schneiden. So entsteht ein eindeutiges Tiling, was eventuell auch durch Variation der g_i erreicht werden kann.

Damit der Computer mit dem so entstehenden Gitter etwas anfangen kann, benötigt man die Geradengleichungen für jedes Grid:

Mit den Zahlen k_i kann man also die Geraden für jedes Grid durchnummerieren.

Das n-Grid zerlegt E in verschiedene Zellen. Alle Punkte einer Zelle liegen in jedem Grid zwischen zwei aufeinanderfolgenden Parallelen. Indem man für eine Zelle angibt, zwischen welchen Geraden jedes Grids sie liegt, kann man diese Zelle eindeutig nummerieren. Dabei genügt es für jedes Grid, die Gerade mit dem höheren Index anzugeben.

Für jeden Punkt x Î E kann also die Zelle, in der er liegt, mit einem n-Tupel ganzer Zahlen, das aus einer Koordinate pro Grid besteht, angegeben werden:

Dabei bezeichnet é...ù die nächsthöhere ganze Zahl. Damit wird E auf Zⁿ abgebildet, da jeder Zelle ein Vektor-Index (k₁, ..., k_n) Î Zⁿ zugeordnet wird. Im Beispiel hat die Zelle, die im Bild oben mit dem Mauszeiger angezeigt wird, das Koordinaten-4-Tupel (1, 1, 1, 0).

Im zweiten Schritt (Dualisierung) wird jeder Zelle anhand ihres n-Tupels ein Punkt von E zugeordnet:

Die so entstehende Punktmenge entspricht den Vertizes des Tilings und bildet nach Verbindung aller Punkte mit Abstand 1 einen d-dimensionalen Quasikristall. Jeder Zelle im Grid entspricht ein Punkt im Quasikristall, jedem Schnittpunkt im Grid korrespondiert eine Zelle (= Rhombus) im Quasikristall. Für n = 4 und d = 2 entsteht nach Verbindung der Punkte mit Abstand 1 ein oktagonales Ammann-Beenker-Kramer-Tiling (links).

Nun erhöhe ich n auf 5. Das Pentagrid aus einem Fünfstern von Gridvektoren in der Ebene bildet ein allgemeines Penrose-Tiling (rechts). Wird die Penrosebedingung å⁵_{i = 1} g_i = 0 erfüllt, ergibt sich ein Penrose-Tiling im engeren Sinne: ein den Matching Rules für das Penrosemuster gehorchendes Tiling (links). Ist å⁵_{i = 1} g_i = ¹/₂, bekommt man ein Anti-Penrose-Tiling (rechts).

In drei Schritten kann gezeigt werden, dass es sich bei den entstehenden Tilings tatsächlich um verallgemeinerte Penrose-Tilings handelt. Entscheidend ist für diese Tilings, dass entlang eines Wurms zwei aufeinanderfolgende Rhomben gleichen Typs in der Orientierung alternieren. Beim binären Tiling (auch ein quasiperiodisches Rautentiling) ist das nicht der Fall.

1. Die Rhomben entsprechen denen des Penrose-Tilings: Da sich die Koordinatentupel benachbarter Zellen in genau einer Koordinate um ±1 unterscheiden, ist die Kantenlänge der Rhomben gleich 1, da diese ja durch Verbindung der entsprechenden Punkte entstehen. Außerdem stimmen auch die Winkel mit denen der Penrose-Rhomben überein, weil die Koordinatentupel entlang der Gridvektoren aufgetragen werden und somit deren Winkel (72° und 108°, 144° und 36°) auch in den Rhomben wieder erscheinen.

2. Die Rhombenfolgen sind quasiperiodisch: Man greife sich eine Gerade heraus (zum Beispiel eine Gerade des ersten Grids) und betrachte die Schnittpunkte mit den Geraden der anderen Grids (links). Der Abstand zwischen benachbarten Schnittpunkten mit dem zweiten und dem fünften Grid ist stets derselbe; das gilt auch für den Abstand der Schnittpunkte mit dem dritten und dem vierten Grid. Das Verhältnis beider Abstände ist t. Es handelt sich also um eine Fibonacci-Sequenz. Da man das für jede Gerade eines jeden Grids wiederholen kann, ist das gesamte Tiling quasiperiodisch.

3. Aus einem Penrose-Tiling kann das Pentagrid zurückgewonnen werden: Markiert man alle Rhomben eines Tilings mit parallelen Seiten, erhält man die sogenannten Würmer, die begradigt einem Grid des Pentagrid entsprechen. Das kann man für alle anders orientierten parallelen Seiten wiederholen und erhält so das Pentagrid (rechts oben).

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