Flips und Random Tilings

Flips

In den vorangegangenen Abschnitten wurde vorgestellt, wie sich quasiperiodische Tilings mit Hilfe verschiedener Verfahren erzeugen lassen. Im Folgenden soll auf Tilings eingegangen werden, die falsche Vertizes aufweisen; das sind Vertexkonfigurationen, die im perfekten quasiperiodischen Tiling nicht vorkommen können (s. a. Abschnitt "Streifenprojektionsformalismus" von Sabine Fischer und Marina Galovic), da sie gegen die Matching Rules des Tilings verstoßen.

Zunächst betrachten wir nochmals den Streifenprojektionsformalismus (kurz: SPF) für das Beispiel der Projektion der Fibonacci-Kette aus dem Quadratgitter. Verschiebt man den im linken Bild eingezeichneten Streifen parallel zu E^||, verändert sich das auf E^|| projizierte Muster nicht. Verschiebt man den Streifen jedoch parallel zum Orthogonalraum, fallen einige Gitterpunkte aus dem Streifen heraus, gleichzeitig treten andere ein; dies ist äquivalent zu einer Verschiebung des Akzeptanzbereichs. Da der Streifen durch eine Verschiebung des Einheitsquadrates entstanden ist, ist gewährleistet, dass immer so viele Punkte aus dem Streifen fallen, wie neu eintreten. Es kann also keine Lücke in der Abfolge von kurzen und langen Abständen entstehen.

Was passiert nun genau, wenn ein Punkt aus dem Streifen bzw. Akzeptanzbereich fällt und dafür ein neuer Punkt eintritt? Betrachtet man die Abfolge von langen und kurzen Abständen der Fibonacci-Kette als Weg im Quadratgitter (s. a. Abschnitt Fibonacci-Kette im Beitrag von Denise Dudek), dann bedeutet das Herausfallen eines Punktes aus dem Streifen, dass der Schritt zu diesem Punkt auf dem Weg im Quadratgitter nicht mehr möglich ist und statt dessen der Schritt zum neu dazugekommenen Punkt gewählt werden muss. Statt z. B. zunächst in x- und dann in y-Richtung geht es jetzt zuerst in y- und dann in x-Richtung weiter (rechtes Bild). In der Projektion auf E^|| spiegelt sich dieser Vorgang als ein Wechsel von LS zu SL bzw. von SL zu LS wider, je nachdem, ob der Streifen nach oben oder nach unten parallel zu E^{^} verschoben wird. Ein einziger Vertex rutscht ein bisschen nach links bzw. rechts, alle anderen bleiben auf ihren Plätzen. Man spricht von einem Flip.

Man kann nun die gleiche Betrachtung wie oben auch für das oktagonale Ammann-Beenker-Kramer-Tiling durchführen, welches mit Hilfe eines SPF aus dem vierdimensionalen hyperkubischen Gitter gewonnen werden kann (s. a. "Abschnitt Streifenprojektionsformalismus"). Ein Flip in einem oktagonalen Tiling entspricht dem Sprung eines Vertex in einem Sechseck. Bei genauerer Betrachtung des Tilings stellt man fest, dass eine solche Sechseck-Vertexkonfigurationen stets in einem Achteck oder in zwei ineinander verschachtelten Achtecken liegt.

Was passiert nun bei einem Flip? Analog zum SPF aus zwei Dimensionen ändern sich bei einem Flip die Wege, die man im Hyperraum gehen darf. Etwas einfacher für die Vorstellung wird das Ganze, wenn man statt des SPF den Formalismus der atomaren Hyperflächen nimmt, der äquivalent zum SPF ist. In einem Achteck gibt es acht Positionen, die durch aufeinanderfolgende Flips erreicht werden können (Bild rechts). Jeder dieser Positionen entspricht ein Punkt im Hyperraum, an dem eine atomare Hyperfläche angeheftet ist.

Der Parallelraum schneidet von diesen acht Hyperflächen nur jeweils drei, so dass im Achteck im Tiling jeweils drei Positionen belegt sind. Im Bild sind das die Positionen 1, 4 und 6. Projiziert man alle acht Hyperflächen auf E^{^}, so sieht man, dass sie um einen Punkt in E^{^} angeordnet sind. Im Bild links ist der Schnitt von E^{^} mit diesen Hyperflächen gezeigt; der Schnittpunkt ist als ausgefüllter Kreis angedeutet. Wie man sieht, schneidet E^{^} nur drei Hyperflächen, nämlich jene von Punkt 1, 4 und 6, so dass im Tiling nur diese Punkte auftreten. Ändert man nun diesen Schnittpunkt z. B. durch Verschieben des Parallelraumes, wird eine neue Hyperfläche geschnitten. Verschiebt man nun den Schnittpunkt im mathematisch positiven Sinn um den Vertex, an dem die acht Hyperflächen in E^{^} angeheftet sind, verlässt der Schnittpunkt sein ursprüngliches Achteck und tritt in ein neues ein, welches zu Punkt 7 gehört. Der Vertex in E^||, der vorher auf dem Punkt mit der Ziffer 6 lag, springt also über zur Position 7, der Vertex "flippt".

Erst nach einem gesamten Umlauf, also nach neun Flips, ist das Muster in E^|| wieder in seinem Urzustand (Bild unten). Allerdings haben die Atome (die man sich an den Vertizes sitzend vorstellt) ihre Positionen untereinander vertauscht, man spricht hierbei von einer Permutation. Es sind 3 · 9 Flips nötig, um auch die Atome wieder in ihre Ursprungspositionen zu bringen.

Eine praktische Anwendung haben diese Flips bei der Modellierung der Selbstdiffusion in Quasikristallen gefunden. Hier flippen Atome innerhalb des Gitters und können so theoretisch einen Weg durch den ganzen Kristall zurücklegen.

Random Tilings

Ausgehend von der Tatsache, dass in einem Tiling Flips auftreten können, hat man eine weitere Art von Tilings eingeführt, die Zufallsparkettierungen (random tilings). Es handelt sich dabei um Tilings, deren einzige Anbauregeln darin bestehen, dass die Eckpunkte der einzelnen Bausteine immer aneinandergelegt werden. Natürlich dürfen keine Lücken im Muster auftauchen, da es sich sonst nicht um ein Tiling handeln würde.

Ein Random Tiling kann auf zwei verschiedene Arten erzeugt werden: indem man ein ideales quasiperiodisches Tiling durch Flips verunreinigt oder indem man tatsächlich willkürlich Bausteine aneinanderlegt. Man kann ein Random Tiling auch durch einen Zufallsweg im Hyperraum darstellen. Dies soll wieder am Beispiel der Fibonacci-Kette erläutert werden.

In einem zweidimensionalen Quadratgitter Z² befinden sich zwei feste Punkte A und B (Bild S. 34 rechts oben), die durch eine willkürliche Kombination von ganzzahligen Schritten in x- oder y-Richtung verbunden werden sollen. Der Weg soll möglichst kurz sein, Schritte nach links oder nach unten sind also nicht erlaubt.

Für diesen Weg gibt es zehn verschiedene Möglichkeiten. Die Projektion in den Parallelraum derjenigen Gitterpunkte, die auf dem Weg liegen, liefert dann ein eindimensionales Random Tiling. Eines (oder mehrere) dieser möglichen Random Tilings kann ein Ausschnitt aus der Fibonacci-Kette sein. Alle diese Tilings haben gleich viele lange und gleich viele kurze Kettenglieder; nur die Reihenfolge ist jedesmal unterschiedlich.

Wieviele mögliche Wege gibt es zwischen A und B? Die gleiche Frage andersrum gestellt: Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, n Stück L und m Stück S in einer Kette anzuordnen? Wenn die Dinger (zusammen m + n Stück) alle voneinander unterscheidbar wären, wären es (m + n)! Möglichkeiten (n!, sprich n-Fakultät, ist definiert als n! = n(n - 1)(n - 2) ... 1). Aber die L untereinander und die S untereinander sind nicht unterscheidbar, also fallen jeweils n! (wegen L) und dann nochmal m! (wegen S) Möglichkeiten in eine zusammen. Das Endergebnis ist (m + n)!/(m!n!), das ist gleich dem Binomialkoeffizienten

æ
è

m + n
n

ö
ø

Im Fall n = 3, m = 2 sind das 5!/(2!3!) = 10 mögliche Wege.

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