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Matching Rules und Wachstumsregeln (Dennis Kirchhoff)

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Der Bildungsprozess von Quasikristallen ist eine aktuelle Herausforderung für die Festkörperphysik und ein äußerst kompliziertes Problem. Seine Lösung sucht man in der mathematischen Theorie der Parkettierung. Im Allgemeinen lässt sich das Problem in zwei Dimensionen etwas einfacher betrachten, ohne dass grundlegende Details verloren gehen. Die mathematische Theorie der Mosaike und Parkettierungen ist relativ gut erfasst und schafft die Grundlagen für weitere überlegungen.

Das Penrose-Muster (rechts) ist ein quasiperiodisches Tiling (Parkettierung) bestehend aus zwei Sorten Bausteinen, einer dicken und einer dünnen Raute (links), die die Ebene lückenlos und ohne überlappungen überdecken (siehe auch den Beitrag "Parkettierungen und Muster" von Britta Späth). Es liegt in der Natur der quasiperiodischen Tilings, dass sie hochgeordnet sind, aber nicht-kristallographische Symmetrien aufweisen, so dass keine periodischen Strukturen entstehen können. überraschenderweise weist das Penrose-Muster (andere quasiperiodische Muster natürlich auch) eine hohe Fernordnung auf, ähnlich derjenigen periodischer Strukturen. Den physikalischen Hintergrund im Kopf, stellt sich nun die Frage, ob und wie man diese Muster lokal aufbauen kann. Ein Quasikristall entsteht (wie ein Kristall auch), indem sich ein Atom nach dem anderen an das wachsende Ding anlagert.

Woher weiß das Atom, wo es sich hinsetzen soll? Es spürt die Kräfte der unmittelbar benachbarten Atome, daraus ergeben sich die lokalen Wachstumsregeln; aber was sich in größerer Entfernung tut, kriegt es natürlich nicht mit. Es stellt sich heraus, dass quasiperiodische Tilings ganz bestimmte Regeln einhalten, und diese lassen sich am Beispiel des Penrose-Musters gut erläutern.

Matching Rules im Detail

Wenn die Matching Rules nicht wären, könnte man ja lauter dicke Rauten ganz langweilig periodisch aneinanderlegen, oder lauter dünne, oder Streifen aus dicken und Streifen aus dünnen Rauten gemischt. Ein Muster, in dem die Regeln nicht beachtet werden, ist also nicht notwendig quasiperiodisch.

Wenn man aber ein Muster aufzubauen versucht, indem man immer schön nach den Regeln Tiles anlegt, kann man in Sackgassen geraten, Stellen, an denen kein Tile mehr anlegbar ist. Das haben wir am vorletzten Tag auf dem Fußboden des Speisesaals durch Ausprobieren bestätigt!

Wenn man weiß, welche Eigenschaften ein Tiling haben muss: Wie kann man daraus die Matching Rules herleiten? Wie dies im Falle des Penrosemusters aussieht, soll hier erklärt werden, ähnliches gilt für alle Tilings.

Beim Penrosemuster ergeben sich endlich viele (genau acht) verschiedene Vertexkonfigurationen (oben), wenn man es mittels des Streifenprojektionsformalismus aus fünf Dimensionen in die Ebene projiziert. Aus diesen möglichen Vertexkonfigurationen lassen sich die Matching Rules lokal ableiten, man spricht in diesem Falle von lokal ableitbaren Matching Rules. Jetzt stellt sich aber die Frage, ob man die Matching Rules auch benutzen kann, um perfekte Tilings zu erzeugen. Dazu sind zunächst einige Definitionen erforderlich:

A) Matching Rules, die ein quasiperiodisches Tiling erzwingen, werden starke Matching Rules genannt.

B) Matching Rules, die ein Tiling einer einzigen LI-Klasse erzwingen, werden perfekte Matching Rules genannt. (LI-Klasse heißt Klasse von lokal isomorphen Tilings. Zwei Tilings heißen lokal isomorph, wenn sich jeder endliche Ausschnitt des einen Tilings irgendwo in dem anderen wiederfindet; siehe auch "Streifenprojektionsformalismus und Theorie der atomaren Hyperflächen".)

C) Matching Rules, die aus einem endlichen Ausschnitt eines Tilings durch Anlegen von Tiles eindeutig ein unendlich großes Tiling erzeugen, heißen lokale Wachstumregeln.

Die für das Penrosemuster vorgestellten Matching Rules sind perfekt, aber keine lokalen Wachstumsregeln! Versucht man anhand der Matching Rules ein Tiling aufzubauen, stößt man auf Konfigurationen, die den weiteren Verlauf erzwingen (links, eingerahmt), es treten allerdings immer Fälle auf, bei denen es zwei Fortsetzungsmöglichkeiten gibt. Setzt man falsch fort, entstehen Baufehler (sog. Phasonen-Unordnung), und es kann sogar sein, dass man unter Beachtung der Regeln irgendwannnicht mehr weiter kommt. Diese Konfigurationen werden als tote Außenränder (dead surfaces) bezeichnet (rechts).

Man kann tote Außenränder völlig vermeiden, indem man das Wachstum mit speziellen Kernen beginnen lässt, vorgegebenen Ausschnitten, die ihrerseits zwar die Regeln verletzen, aber ein eindeutiges Muster erzwingen, in dem keine toten Außenränder auftauchen. Der links abgebildete Kern heißt decapod ("Zehnfuß").

Im Allgemeinen sind Lösungen dieser Art auch nicht befriedigend, da sie das ursprüngliche Problem, die Erzeugung eines perfekten Tilings aus einer perfekten Startkonfiguration durch lokales Wachstum, nicht lösen. Bei periodischen Tilings (gewöhnlichen Kristallen) sind im Gegensatz zu quasiperiodischen Tilings perfekte Matching Rules auch als lokale Wachstumsregeln verwendbar! So stellt sich die Frage, ob die Matching Rules im physikalischen Sinne überhaupt relevant sind. Im Moment gibt es keine eindeutige Antwort. Die augenblicklich aussichtsreichsten Theorien greifen verschiedene Ideen auf.

Zwei Favoriten sollen kurz angesprochen werden: A) Man nimmt an, dass unter Einhaltung der Matching Rules der energetische Grundzustand des Quasikristalls erzwungen wird; man spricht hierbei auch von energetischer Stabilisierung. B) Die zweite kombiniert die Idee der Matching Rules mit wahrscheinlichkeitstheoretischen überlegungen: Man weiß, dass bei quasiperiodischen Strukturen nur eine endliche Anzahl von verschiedenen Vertexkonfigurationen auftritt, jede dieser Konfigurationen besitzt eine relative Häufigkeit. Beim Wachstum werden die häufigsten Vertexkonfigurationen mit einer höheren Wachstumswahrscheinlichkeit eingebaut. Kleine Verletzungen der Matching Rules sind erlaubt. Dieses Modell kann allerdings die hohe Fernordnung nicht ausreichend erklären, die Gründe hierfür würden den Rahmen dieses Textes sprengen und werden deswegen nicht näher erläutert. Für weitere Nachforschungen sei auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen.

Literatur

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