Periodische Kristalle

Kristallaufbau und Struktur

Die Struktur eines periodischen Kristalls ist durch ein dreidimensionales Gitter zu beschreiben, d. h. alle Bilder eines Punktes unter Translation mit Vektoren T = ma + nb + kc. Dabei sind a, b und c die sogenannten Basisvektoren und m, n und k ganzzahlige Faktoren. An jedem der Gitterpunkte sitzt eine primitive, d. h. kleinstmögliche Elementarzelle, die aus einem oder mehreren Atomen besteht. Die Zelle wird also immer wieder parallel zu sich selbst und um T verschoben abgebildet. Die Gesamtheit aller Zellen füllt den ganzen Raum lückenlos aus; jede Zelle enthält immer nur einen Gitterpunkt. Was man als diese Elementarzelle ansieht, ist nicht vollständig durch die Kristallstruktur festgelegt. Man kann das Parallelepiped, das von den Basisvektoren aufgespannt wird, als Elementarzelle annehmen, oder, wenn jede Zelle nur ein Atom enthalten soll, die Voronoi-Zelle (bei den Kristallographen: Wigner-Seitz-Zelle) des Atoms.

Außer der Translationssymmetrie dürfen Kristalle auch Drehsymmetrie aufweisen, was aber keine Bedingung für die Entstehung eines periodischen Kristalls ist. Wie im zweidimensionalen Raum sind aber nur die 1-, 2-, 3-, 4- und 6-zählige Symmetrie erlaubt. Durch die Parallelität der Flächen entstehen einzelne Kristallebenen. Wird ein Kristall auseinandergezerrt, bricht er bevorzugt entlang solcher Ebenen, wodurch glatte Bruchflächen entstehen.

Kristallgitter

Es gibt 7 wesentlich verschiedene Raumgittertypen; je nachdem, wo in dem Gitter die Atome sitzen, werden die Gitter weiter in die 14 sogenannten Bravaisgitter eingeteilt (s. Abb.). Die Kristallographen fassen dabei 2, 3 oder 4 primitive Elementarzellen zu einer größeren zusammen, die dann 2-, 3- oder 4-fach primitiv heißt. Diese größeren Elementarzellen sind kubisch (würfelförmig), was man sich leichter vorstellen kann. Dann allerdings geraten Gitterpunkte auf die Flächen (kubisch-flächenzentriert) oder in das Innere (kubisch-raumzentriert) der Zelle.

Die Größe der Elementarzellen beträgt einige Å (Ångström; 1 Å = 0,1nm). Der Abstand zwischen den einzelnen Atomen ist ungefähr so groß wie die Wellenlänge von Röntgenstrahlung. Die elektromagnetische Strahlung wird durch die Gitterstruktur sehr stark reflektiert, was für die Erkennung der Periodizität an Hand des Beugungsbildes wichtig ist (s. Matthias Hullin: "Quasikristalle").

Die Anzahl der Nachbaratome eines Atoms heißt Koordinationszahl. Je höher sie ist, desto dichter gepackt ist der Kristall. Die dichteste Art, Atome in einer Kristallstruktur zu stapeln, ist entweder die hexagonal-dichtest-gepackte oder die kubisch-flächenzentrierte Anordnung. In beiden (Ideal-)Fällen werden 74% des Raumes ausgefüllt. Die kugelförmig gedachten Atome sind in parallelen Ebenen angeordnet; in jeder Ebene bilden sie ein Dreiecksgitter. Von Ebene zu Ebene sind die Atome gegeneinander versetzt und auf Lücke angeordnet. Die kubisch-flächenzentierte Packung nutzt der Reihe nach alle drei möglichen Lücken zwischen den Kugeln; also befinden sich die Atome erst nach dreimaliger Verschiebung wieder genau über denen der Ausgangsebene. Die hexagonal-dichtest gepackte hingegen springt zwischen zwei Lückenanordnungen hin und her; sie macht also die gerade vorgenommene Verschiebung jeweils rückgängig, und schon nach 2-maligem Verschieben liegen die Atome wieder genau über denen der Ausgangsebene.

Beispiele und Sonderformen

Nicht nur einzelne Atome können die Basis eines Kristalls bilden, sondern auch größere Gruppen, Molekeln genannt. Man erkennt sie an den wesentlich kleineren Abständen zwischen den Atomen eines Moleküls im Vergleich zu denen zwischen den einzelnen Basen. Ein Beispiel für eine Riesenmolekel sind (kristallisierte) Viren.

Außerhalb der selten auftretenden idealen Zustände gibt es noch die zufällige Stapelung und die Polytypie. Die eine erzeugt dichtest-gepackte Schichten ohne Gesetzmäßigkeit und die andere eine Art Fernordnung, die bewirkt, dass sich die einzelnen Schichten erst nach (zum Beispiel) 594 Atomen wiederholen. Bei Siliciumcarbid hat die primitive Elementarzelle die Maße a = 3,08 Å und c = 989,6 Å.

Bravais-Gitter: Konventionelle Elementarzellen

System Primitivität Benennung Achsen/Winkelbedingungen

kubisch 1.) einfach-primitv
2.) zweifach-primitv
3.) vierfach-primitv eckenbesetzt
raumzentriert
allseitig flächenzentriert a = b = c, a = b = g = 90°

tetragonal 4.) einfach-primitv
5.) zweifach-primitv eckenbesetzt
raumzentriert a = b ¹ c, a = b = g = 90°

hexagonal 6.) einfach-primitv
7.) dreifach-primitv
7'.) einfach-primitv eckenbesetzt
2-fach raumzentriert
rhomboeder-eckenbesetzt a = b ¹/= c, a = 120°, g = 90°

rhombisch 8.) einfach-primitv
9.) zweifach-primitv
10.a) zweifach-primitv
10.b) zweifach-primitv
10.c) zweifach-primitv
11.) vierfach-primitv eckenbesetzt
raumzentriert
(vorder-) flächenzentriert
(seiten-) flächenzentriert
basiszentriert
allseitig flächenzentriert a ¹ b ¹ c, a = b = g = 90°

(rhomboedrisch) o. Abb. a = b = c, a = b = g ¹ 90°

monoklin 12.) einfach-primitv
13.) zweifach-primitv eckenbesetzt
basiszentriert a ¹ b ¹ c, a = g = 90° ¹ b

triklin 14.) einfach-primitv eckenbesetzt a ¹ b ¹ c, a ¹ b ¹ g ¹ 90°

System	Primitivität	Benennung	Achsen/Winkelbedingungen
kubisch	1.) einfach-primitv 2.) zweifach-primitv 3.) vierfach-primitv	eckenbesetzt raumzentriert allseitig flächenzentriert	a = b = c, a = b = g = 90°
tetragonal	4.) einfach-primitv 5.) zweifach-primitv	eckenbesetzt raumzentriert	a = b ¹ c, a = b = g = 90°
hexagonal	6.) einfach-primitv 7.) dreifach-primitv 7'.) einfach-primitv	eckenbesetzt 2-fach raumzentriert rhomboeder-eckenbesetzt	a = b ¹/= c, a = 120°, g = 90°
rhombisch	8.) einfach-primitv 9.) zweifach-primitv 10.a) zweifach-primitv 10.b) zweifach-primitv 10.c) zweifach-primitv 11.) vierfach-primitv	eckenbesetzt raumzentriert (vorder-) flächenzentriert (seiten-) flächenzentriert basiszentriert allseitig flächenzentriert	a ¹ b ¹ c, a = b = g = 90°
(rhomboedrisch)	o. Abb.		a = b = c, a = b = g ¹ 90°
monoklin	12.) einfach-primitv 13.) zweifach-primitv	eckenbesetzt basiszentriert	a ¹ b ¹ c, a = g = 90° ¹ b
triklin	14.) einfach-primitv	eckenbesetzt	a ¹ b ¹ c, a ¹ b ¹ g ¹ 90°

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