[zurück]

Eindimensionale quasiperiodische Ketten

(Denise Dudek) 		[vor]

I. Die Fibonacci-Kette

Die Fibonacci-Kette ist ein Beispiel für eine eindimensionale quasiperiodische Kette, die auf Fibonacci zurückgeht. Fibonacci war der größte Mathematiker Europas im Mittelalter. Sein eigentlicher Name war Leonardo Pisano, das heißt Leonardo von Pisa, benannt nach seinem Geburtsort. Der Name Fibonacci lässt sich aus dem Lateinischen von filius Bonacci, was so viel bedeutet wie Sohn des Bonacci, ableiten. Fibonacci war einer der ersten, die das hindu-arabische Zahlensystem, das bei uns heute gebräuchlich ist, in Europa einführten. Bekannt ist er heute vor allem auf Grund der nach ihm benannten Fibonacci-Folge bzw. Fibonacci-Kette. Die Fibonacci-Kette besteht aus zwei verschiedenen Elementen (z. B. L und S). Gestartet wird mit einem Baustein S. Die Kette wird dann nach folgender Substitutionssequenz aufgebaut:

S ® L

L® LS (® heißt: wird im nächsten Schritt ersetzt durch)

Die Gesamtzahl aller Bausteine im n-ten Schritt ist die Fibonaccizahl fn.

Ein möglicher Aufbau der Kette sähe wie folgt aus:

Veranschaulichung des Kaninchenproblems
S Þ f1 = 1
L Þ f2 = 1
LS Þ f3 = 2
LSL Þ f4 = 3
LSLLS Þ f5 = 5
LSLLSLSL Þ f6 = 8
LSLLSLSLLSLLS Þ f7 = 13
...

Eine hübsche Möglichkeit, sich die Fibonacci-Kette zu veranschaulichen, geht auf Fibonacci selbst zurück: die Vermehrungsrate von Kaninchen, die allerdings einige biologische Auffälligkeiten aufweisen:
a) ihre Lebensdauer ist unendlich
b) es werden nur weibliche Kaninchen geboren (Genmanipulation?)
c) die weiblichen Kaninchen vermehren sich von selbst
Doch nun zum Kaninchenproblem: Ein junges Kaninchen S (small) braucht ein Jahr, um ein geschlechtsreifes Kaninchen L (large) zu werden. Danach produziert es jedes Jahr wieder ein junges Kaninchen S, und man erhält wieder die obige Abfolge (siehe Bild; das Bild handelt allerdings von Kaninchenpaaren statt Kaninchen).

An dem obigen Beispiel sieht man auch, dass für die gesamte Kette folgende Rekursion gilt:

fn = afn-1 + bfn-2 , wobei a = b = 1 .

Das heißt, dass jedes fn die Summe seiner beiden Vorgänger ist.

Diese Rekursion stellt eine andere Möglichkeit dar, die Fibonacci-Kette zu erzeugen. Dabei wird an jede bisherige Kette deren Vorgänger angehängt und somit die neue Kette gebildet. Bei der Fibonacci-Kette laufen beide Erzeugungsverfahren auf dasselbe hinaus. Das ist nicht bei allen Ketten so!

Mit diesem Vorwissen lässt sich nun die relative Häufigkeit der Anzahl der L im Verhältnis zur Anzahl der S für n ® ¥ berechnen. Dazu muss man wissen, wie man #(L) bzw. #(S) berechnen kann (# steht für Anzahl). Dies erfolgt nach folgender Rekursion:

#(L)n+2 = fn + fn-1 = fn+1
#(S)n+2 = fn-1 + fn-2 = fn

(vergleiche den Beitrag von Stephan Reitmeier). Die relative Häufigkeit ist also im Grenzwert

#(L)
#(S)		 = limn ® ¥ #(L)n+2
#(S)n+2		 = limn ® ¥ fn+1
fn		 = t = 1 + Ö5
2

(für Zahlenfetischisten: t = 1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135...). Da sich #(L) und #(S) wie t zueinander verhalten, das heißt in einem irrationalen Verhältnis zueinander stehen, kann die Fibonacci-Kette nicht periodisch sein.

II. Die Octonacci-Kette

Eine andere eindimensionale quasiperiodische Kette ist die Octonacci-Kette. Sie heißt so, weil sie in oktagonalen Mustern eine Rolle spielt. Für sie gilt folgende Substitutionssequenz:

S ® L

L® LLS

Daraus ergibt sich dann folgender Aufbau:

S

L

LLS

LLSLLSL

LLSLLSLLLSLLSLLLS

LLSLLSLLLSLLSLLLSLLSLLSLLLLSLLSLLLSLLSLLSL

Auch die Octonacci-Kette kann durch die Rekursion fn = afn-1 + bfn-2 aufgebaut werden, aber diesmal mit a = 2 und b = 1.

Das Verhältnis der Bausteine #(L) / #(S) geht nun gegen l = 1 + Ö2. Diese Zahl wird auch als Silberne Zahl oder Octonacci-Zahl bezeichnet.

Genauso kann man jetzt für a und b beliebige ganze Zahlen einsetzen und so noch eine unendliche Anzahl anderer Ketten erzeugen, worauf ich an dieser Stelle nicht näher eingehen will, da im Wesentlichen nur die Fibonacci- und die Octonacci-Kette von größerer Relevanz sind.

Die Fibonacci-Kette lässt sich gut im zweidimensionalen Punktgitter Z2 veranschaulichen. Ein Einheitsschritt in x-Richtung stellt dabei ein Element L dar, ein Einheitsschritt in y-Richtung ein Element S. Nun trägt man nach diesem Schema die Bausteine der Fibonacci-Kette in dieses Gitter ein. Dabei wird man früher oder später feststellen, dass sich der so dargestellte Pfad einer bestimmten Steigung annähert. Diese Steigung hat den Wert t-1. Es wird also eine irrationale Steigung durch einen Quotienten ganzer Zahlen approximiert (Bild links). Ebenso lässt sich auch die Octonacci-Kette darstellen. Die Steigung dieses Pfades approximiert den Wert l-1 (Bild rechts).

Fibonacci-Kette Octonacci-Kette

[zurück] [Inhaltsverzeichnis] [vor]