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Verstohlener Blick in die lineare Algebra (Christoph Pöppe)

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Matrizen spielen eine ungeheuer vielfältige Rolle. Koordinatentransformation ist eine ihrer wesentlichen Beschäftigungen. Außerdem können sie sehr bequem lineare Gleichungssysteme darstellen.

Ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten sieht so aus:

Dabei sind die x_j die Unbekannten, und die a_ij und die b_j hält man für bekannt. Dasselbe kann man sehr viel kompakter in Matrixschreibweise formulieren. Man definiere

und schreibt dasselbe Gleichungssystem kurz als Ax = b.

Na schön, aber was hat man davon? Bisher haben wir ja nichts weiter getan als Abkürzungen eingeführt. Interessant wird es, die Matrix in einer anderen Rolle anzugucken, wenn die eine Rolle nichts mehr einbringt. In diesem Falle ist es die Rolle als lineare Abbildung.

Eine Matrix A macht aus einem Vektor x einen anderen, nämlich Ax. Sie ist also eine Abbildung (oder Funktion, was dasselbe ist) auf dem Raum aller Vektoren (in diesem Falle dem Rⁿ), und zwar eine lineare Abbildung. Wie kann man sich das geometrisch vorstellen?

Jede Matrix bildet den Nullpunkt auf den Nullpunkt ab. Außerdem läßt sie Gerades gerade! Wenn also drei Punkte auf einer Geraden liegen, dann gilt das auch für ihre Bilder unter der Matrix. Wieso? Das liegt an den beiden wesentlichen Rechenregeln für Matrix mal Vektor, nämlich

Wenn die Gerade, auf der die drei Punkte liegen, durch den Nullpunkt geht, ist es klar: Dann sind die drei Vektoren vorher und nachher skalare Vielfache voneinander. Wenn sie auf irgendeiner Geraden liegen, muß man mit der Summe von Vektoren argumentieren.

Aus einer Kugel mit Mittelpunkt im Nullpunkt macht eine lineare Abbildung ein Ei. Kein richtiges: Beide Enden sind gleich stumpf! Das Ei kann lang und dünn werden wie eine Zigarre oder platt wie ein Smartie. Der richtige Name ist Ellipsoid.

Übrigens heißt jede Abbildung linear, die die beiden genannten Rechenregeln erfüllt. Sie muß nicht auf Vektoren wirken und auch nicht durch eine Matrix darstellbar sein. (Allerdings ist jede lineare Abbildung des Rⁿ durch eine Matrix darstellbar.) Trotzdem kann man mit guter Aussicht auf Erfolg versuchen, das, was man von Matrizen weiß, auf allgemeine lineare Abbildungen zuübertragen. Darüber freuen sich besonders die Vertreter der Differential- und Integralrechnung, denn Differenzieren und Integrieren sind lineare Abbildungen: Ableitung einer Summe ist Summe der Ableitungen, einen konstanten Faktor darf man rausziehen, und mit dem Integral geht das so ähnlich.

Es gibt eine beträchtliche Vielfalt an linearen Abbildungen des Rⁿ, sprich (n × n)-Matrizen. Die oben genannten Drehungen, Spiegelungen und Streckungen und ihre sämtlichen Kombinationen sind darunter. Diese Abbildungen sind (wenn ein Streckfaktor nicht gerade 0 ist) sämtlich widerruflich (invertierbar): Aus dem Bild kann man das Urbild rekonstruieren. Das heißt insbesondere: In der Gleichung Ax = b findet man zum b das x: Das Gleichungssystem ist lösbar!

Es gibt aber auch unwiderrufliche Abbildungen, zum Beispiel die oben genannten Projektionen. Wenn eine Abbildung den ganzen R³ zu einer Ebene (oder zu einer Geraden oder gar zum Nullpunkt) plattschlägt, ist das nicht rückgängig zu machen. Aus einem Grundriss kann man das Haus nicht rekonstruieren.

Jede Projektion (mit Ausnahme der Identität) ist unwiderruflich, aber nicht jede unwiderrufliche Abbildung ist eine Projektion. Was ist das Wesentliche an einer Projektion? Wenn man sie zweimal hintereinander ausführt, tut sich an dem Bild nichts mehr. Wenn ich eine Fliege mit der flachen Hand auf die Tischfläche projiziere, ändert der zweite Schlag nichts mehr am Zustand der Fliege. Grundriss vom Grundriss bleibt Grundriss. Für eine Projektion P gilt P² = P. (Dabei ist wie üblich P² eine Kurzschreibweise für PP. Matrixmultiplikation!)

Jetzt kommt die beliebteste (denk-)gymnastische Übung der Mathematiker: der Kopfstand. Wir stellen die Dinge auf den Kopf, indem wir aus einer Beobachtung eine Definition machen. Aus dem Satz "Wenn P eine Projektion ist, gilt P² = P" machen wir "Wenn P² = P ist, nennen wir P eine Projektion."

Was soll das? Erstens lösen wir uns von der lästigen Realität. Die komplizierten Verhältnisse von Licht und Schatten bei parallelem oder weniger parallelem Lichteinfall waren gut zur Inspiration, aber wir wollen uns davon nicht einengen lassen. Zweitens- viel wichtiger: Wir erweitern den Begriff Projektion auf Räume wie den Rⁿ mit großem n, wo von Licht und Schatten sowieso keine Rede sein kann. Und plötzlich - hokuspokus! - bedeutet der Begriff der Projektion nicht mehr das, was uns vertraut ist, sondern nur noch die Formel P² = P.

Mit der Geometrie in hochdimensionalen Räumen geht das so ähnlich. Wir beobachten im gewöhnlichen Raum: Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt 0. Im Rⁿ ist nicht mehr viel mit Beobachten. Da definieren wir einfach: Senkrecht ist, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Und siehe da, alle angenehmen Eigenschaften der Rechtwinkligkeit bleiben uns erhalten.

Das ist erstmal ungewohnt, und man weiß vor lauter Kopfstand nicht mehr, wo einem der Kopf steht. (Deswegen bestehe ich ja so penetrant darauf, daß die von Euch formulierten Sätze richtigrum stehen - auf dem Kopf oder auf den Füßen, je nachdem, was gerade angesagt ist. Ihr habt gelitten, aber ich hoffe, nicht umsonst. Verzeiht mir!) Der Gewinn: Auf diese Weise findet man sich dort, wo die Anschauung nicht mehr hinreicht, nämlich in hochdimensionalen Räumen, noch einigermaßen zurecht - wenn auch nur mit der Krücke der Algebra. Und da wollen wir ja gerade hin.

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