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Platonische Körper

(Natalie Wood)
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1. Besonderheiten und Gemeinsamkeiten

Platonische Körper sind vollkommen regelmäßige Körper. Ihre Oberflächen bestehen aus gleich großen, gleichseitigen und gleichwinkligen Vielecken. In jeder Ecke eines platonischen Körpers stoßen genau gleich viele Flächen aneinander.

Zu jedem platonischen Körper gehören drei spezielle Kugeln. Die erste (die Kantenkugel) berührt alle Kanten ihres platonischen Körpers genau in der Mitte. Eine zweite, kleinere Kugel, die sogenannte Inkugel, ist so in den Körper einbeschrieben, dass sie alle Flächenmittelpunkte des platonischen Körpers berührt. Eine dritte Kugel, die Umkugel, umhüllt den platonischen Körper so, dass sie alle Ecken des Körpers berührt.

Es gibt genau fünf platonische Körper: das Tetraeder, den Würfel, das Oktaeder, das Ikosaeder und das Pentagon-Dodekaeder.

Platonische Körper

Eigenschaften der fünf platonischen Körper:

KörperTetraederWürfelOktaederIkosaederDodekaeder
Oberflächenanzahl4682012
Oberflächenformgleichseitiges DreieckQuadratgleichseitiges Dreieckgleichseitiges Dreieckregelmäßiges Fünfeck
Eckenanzahl4861220
Kantenanzahl612123030
Flächenwinkelca. 70°90°ca. 110°ca. 140°ca. 118°

Es kann nur genau fünf vollkommen symmetrische Polyeder geben, da eine Ecke im Raum mindestens drei Flächen verlangt und deren Winkelsumme in den Ecken des Körpers nicht größer oder gleich 360° sein darf.

Beim Tetraeder stoßen jeweils drei gleichseitige Dreiecke aneinander. Da deren Winkelsumme von 180° noch deutlich unter 360° liegt, existiert auch die Eckenkonfiguration des Oktaeders, bei dem vier gleichseitige Dreiecke in den Ecken zusammenstoßen, und die des Ikosaeders, bei dem fünf gleichseitige Dreiecke zusammentreffen.

Eine Ecke, die aus sechs gleichseitigen Dreiecken bestünde, kann es nicht als Ecke eines platonischen Körpers geben, da deren Winkelsumme 360° betrüge.

Genauso verhält es sich bei den Ecken der anderen platonischen Körper: Die drei Quadrate, die zusammen ein Würfeleck bilden, sind bereits die höchstmögliche Anzahl. Die Winkelsumme einer räumlichen Ecke, die aus vier oder mehr Quadraten bestünde, würde 360° oder mehr betragen. Das ist jedoch nicht möglich. Die maximal mögliche Anzahl von Fünfecksflächen, die Ecken im Raum bilden können, ist ebenfalls drei. Also ist das Dodekaeder der einzige vollkommen symmetrische Körper, dessen Ecken durch regelmäßige Fünfecke gebildet werden können.

2. Polare Beziehungen

Alle platonischen Körper lassen sich so ineinander einbeschreiben, dass es irgendwie hübsch aussieht, zum Beispiel Ecke auf Flächenmittelpunkt oder Kantenmittelpunkt. Die Körper können jedoch nicht in sich selbst einbeschrieben werden, außer dem Tetraeder.

Bei manchen Paaren platonischer Körper ist das besonders hübsch. Die Beziehung zwischen ihnen heißt polare Beziehung oder auch Dualität.

Aus einem Paar dualer Körper muss der eine genau so viele Ecken besitzen wie der andere Flächen. Die Ecken des einen Körpers liegen genau auf den Flächenmittelpunkten des anderen, und die Kanten der beiden Körper laufen immer rechtwinklig übereinander.

Es gibt fünf polare Beziehungen, wobei das Tetraeder eine Ausnahme darstellt. Es ist zu sich selbst polar, da es genau so viele Flächen besitzt wie Ecken.

Polare Beziehungen

1. Würfel-Oktaeder-Beziehung
(2. Oktaeder-Würfel-Beziehung)
3. Ikosaeder-Dodekaeder-Beziehung
(4. Dodekaeder-Ikosaeder-Beziehung)
5. Tetraeder-Gegentetraeder-Beziehung
WürfelOktaederIkosaederDodekaederTetraeder
6 Flächen8 Flächen20 Flächen12 Flächen4 Flächen
8 Ecken6 Ecken12 Ecken20 Ecken4 Ecken
12 Kanten12 Kanten30 Kanten30 Kanten6 Kanten

3. Durchdringungen platonischer Körper

Zwei polar zueinander stehende Körper können sich durchdringen. Dadurch entstehen neue Körper.

Drei verschiedene Durchdringungen platonischer Körper können entstehen:
1. Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung
2. Würfel-Oktaeder-Durchdringung
3. Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung

Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung Würfel-Oktaeder-Durchdringung Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung

Den Raum, der von beiden sich durchdringenden Körpern gemeinsam beansprucht wird, nennt man Kern. Man muss sich vorstellen, dass auf allen Flächen des Kerns Pyramidenhütchen sitzen, abwechselnd von jedem der beteiligten Körper.

Der Kern, der bei einer Würfel-Oktaeder-Durchdringung entsteht, heißt Kuboktaeder. Es besitzt zwei unterschiedliche Flächenarten, sechs Quadrate und acht Dreiecke. Den Kern einer Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung nennt man Ikosidodekaeder. Es besteht aus 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 gleichseitigen Dreiecken. Bei einer Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung entsteht als Kern ein Oktaeder.

Wieder drei neue Körper entstehen, wenn man die Durchdringungen mit einer neuen Oberfläche umhüllt. Das heißt, auf jede Kantenschnittstelle wird eine Fläche gelegt, so dass die Kanten der Durchdringung zu den Diagonalen der Hüllenoberflächen werden.

Das Rhombendodekaeder ist der Körper, der durch Umhüllen der Würfel-Oktaeder-Durchdringung entsteht. Seine Oberfläche besteht aus 12 Rhomben, und seine Flächendiagonalen verhalten sich wie 1 : Ö2. Die Hülle der Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung bildet das Rhombentriakontaeder. Es hat eine Oberfläche aus 30 Rhomben und ein Flächendiagonalenverhältnis von t : 1. Bei der Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung entsteht ein Würfel als Hüllkörper.

Umstülpungen
DurchdringungKernHülle
Würfel-OktaederKuboktaederRhombendodekaeder
Dodekaeder-IkosaederIkosidodekaederRhombentriakontaeder
Tetraeder-GegentetraederOktaederWürfel

4. Umstülpungen

Definition: Wenn das Innere eines Körpers nach außen gestülpt wird oder das äußere nach innen, spricht man von einer Umstülpung.

Zum Beispiel kann eine Umstülpung bei einem Würfel vorgenommen werden. Setzt man auf jede Würfelfläche eine Pyramide gleicher Höhe, so sind die benachbarten Flächen gegeneinander geneigt, wenn die Höhe der Pyramide ungleich der halben Würfelkante ist. Ist die Höhe nun gleich der halben Würfelkante, liegen je zwei benachbarte Dreiecke in einer Ebene. Immer zwei dieser Dreiecke bilden je einen Rhombus, dessen kleine Diagonale der Würfelkante und dessen große Diagonale der Flächendiagonale entspricht. Der so entstandene Körper ist das Rhombendodekaeder. Es hat 12 Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten.

Jetzt kann man sich auch vorstellen, dass die Pyramiden aus dem Würfel herausgeschnitten sind. So wird klar, dass alle Pyramiden zusammen dasselbe Volumen besitzen wie der Würfel, aus dem sie herausgeschnitten wurden. Das Rhombendodekaeder besitzt das doppelte Volumen des Würfels.

Symmetrien der platonischen Körper

(Christoph Pöppe)

In unserem Zusammenhang interessieren uns an den platonischen Körpern vor allem ihre Symmetrien, genauer: ihre Symmetriegruppen (vgl. den Zusatz zum Beitrag von Britta Späth). Dass sie so schön regelmäßig sind, äußert sich darin, dass es viele Kongruenzabbildungen gibt, die den jeweiligen Körper mit sich selbst zur Deckung bringen. Darunter können offensichtlich keine Translationen oder Gleitspiegelungen sein; Mittelpunkt muss immer auf Mittelpunkt kommen. Eine Gruppe aus Abbildungen, die sämtlich einen Punkt unverändert lassen, heißt Punktgruppe. Die Symmetriegruppen der platonischen Körper sind also Punktgruppen.

Nehmen wir als Beispiel die Symmetriegruppe des Dodekaeders (oder des Ikosaeders, das ist nämlich dieselbe, wegen der Dualität). Man steche eine Achse durch den Mittelpunkt einer Fläche und den der gegenüberliegenden Fläche. Dann kann man um diese Achse um ein, zwei, drei ... Fünftel des Vollwinkels rotieren (fünfzählige Drehachse). Eine Achse, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte gestochen, ist dreizählig, und eine durch zwei gegenüberliegende Kantenmittelpunkte ist zweizählig. Man wähle eine Fläche aus, halbiere sie durch eine Gerade von Ecke zu Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante und nehme die Ebene, die durch diese Gerade und den Mittelpunkt des Körpers liegt. Spiegelung an dieser Ebene ist eine Symmetrie des Körpers. Von diesen Ebenen gibt es 15 Stück. Diese Abbildungen und ihre Verknüpfungen bilden die Symmetriegruppe des Dodekaeders.

Die gestrengen Regeln der Gruppentheorie erzwingen, dass jede Punktgruppe, die eine zwei-, eine drei- und eine fünfzählige Drehsymmetrie enthält, bereits die Symmetriegruppe des Dodekaeders enthalten muss. Wenn man also durch Röntgenbeugung (siehe den Beitrag von Matthias Hullin) alle drei Drehsymmetrien in einem Festkörper findet, muss er die Symmetrie des Dodekaeders haben. Und da das mit einem gewöhnlichen Kristall nicht geht (vergleiche den Beitrag von Anne Müller-Lohmann), weiß man: Es muss ein Quasikristall sein.


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