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Grundlegendes zur Differential- und Integralrechnung

(Natalja Deng) 		[vor]

Definition der Ableitung

Gegeben sei eine Funktion y = f(x). Die Ableitung von f(x) ist definiert als

f ¢(x) = dy
dx
 =
lim
Dx®0 		f(x + Dx) - f(x)
Dx
 .
Geometrisch gibt f ¢(x0) die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x0, y0) an (y0 = f(x0)).

Taylor-Reihen

Gesucht wird eine Möglichkeit, die Funktion f(x) als Potenzreihe darzustellen. Dazu gehen wir rückwärts vor: Wenn eine Reihendarstellung

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...
existiert, dann darf man sie gliedweise differenzieren:
f ¢(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ... ;     f ¢(0) = a1.
f ¢¢(x) = 2a2 + 2 · 3a3x + 3 · 4a4x2 + ... ;    f ¢¢(0) = 2a2;    a2 = 1
2!
 f ¢¢(0).
f ¢¢¢(x) = 2 · 3a3 + 2 · 3 · 4a4x + ... ;    f ¢¢¢(0) = 2 · 3a3;    a3 = 1
3!
 f ¢¢¢(0).

Somit ist ak = (1 / k!)f (k)(0). Einsetzen in die Ausgangsreihe ergibt

f(x) = f(0) + f ¢(0)
1!
 x + f ¢¢(0)
2!
 x2 + f ¢¢¢(0)
3!
 x3 + ... = ¥
å
n = 0 		f (n)(0)
n!
 xn
(f (n)(x) bezeichnet die n-te Ableitung von f an der Stelle x). Manchmal ist es notwendig, nicht f(x) nach Potenzen von x an der Stelle x = 0, sondern f(x + h) nach Potenzen von h an der Stelle x zu entwickeln. Man erhält die allgemeine Form der Reihe von Taylor:
f(x + h) = f(x) + f ¢(x)
1!
 h + f ¢¢(x)
2!
 h2 + f ¢¢¢(x)
3!
 h3 + ... = ¥
å
n = 0 		f (n)(x)
n!
 hn.

Das ist eine unglaublich dreiste Behauptung! Schaut euch zum Beispiel die Taylorreihe in der ersten Form (f(x) = f(0) + ...) mal scharf an. Auf der linken Seite steht f(x), und auf der rechten kommen f und seine Ableitungen nur im Punkt x = 0 vor. Das ist höchst merkwürdig. Nehmen wir an, x sei die Zeit, und wir können irgendeine Größe f samt allen ihren Ableitungen zum Zeitpunkt x = 0 bestimmen. Dann könnten wir sie für jeden beliebigen Zeitpunkt x > 0 in der Zukunft berechnen! Das kann nicht gut sein. Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem x genau ein f(x) zuordnet - keine weiteren Einschränkungen. Wer eine Funktion definiert, darf ihr für x = 1 einen beliebigen Wert geben und ist nicht daran gebunden, was er in einer Umgebung von x = 0 festgelegt hat. Aber f(0), f¢(0) und so weiter hängen nur davon ab, was sich in einer beliebig kleinen Umgebung von x = 0 abspielt. Wie kann man daraus erschließen, was die Funktion bei x = 1 macht? Im Allgemeinen gar nicht.

Aber unter welchen Umständen existiert diese Reihe überhaupt? Nach der Taylorschen Formel gilt:

f(x + h) = f(x) + f ¢(x)
1!
 h + f ¢¢(x)
2!
 h2 + f ¢¢¢(x)
3!
 h3 + ... + f (n)
n!
 hn + Rn
mit Rn = (f (n + 1)(x*)h(n + 1)) / (n + 1)! für ein (nicht näher bekanntes) x* zwischen x und x + h (Lagrange'sches Restglied). Die Taylor-Reihe stellt f(x) nun für genau die Werte von x dar, für die limn®¥Rn(x) = 0.

Ach so. Also: Damit diese wundersame Zukunftsvorhersage funktioniert, muss f nicht nur unendlich oft differenzierbar sein (diese höheren Ableitungen müssen alle existieren, und zwar auf dem ganzen Intervall), es muss auch noch das Restglied Rn für n ® ¥ gegen 0 gehen. Das Schöne ist: Dieses Wunder findet überraschend häufig statt. Seine Voraussetzungen treffen auf alle Funktionen zu, mit denen man in der Mathematik üblicherweise umgeht, und sie treffen (meistens) auf die Funktionen zu, für die wir uns hier verschärft interessieren: Lösungen von Differentialgleichungen (siehe die nächsten Beiträge). Das ist nicht so verwunderlich: Differentialgleichungen lösen ist dasselbe wie die Zukunft vorhersagen, und das tut eine Taylorreihe auch (wenn sie konvergiert).

Die typische Situation ist folgende: Wir kennen f nicht (f ist gesucht), und wir haben nur Informationen über f und einige seiner Ableitungen in einem Punkt (zum Beispiel x = 0). Was können wir daraus für f(x) für x > 0 schließen? Solange x klein ist, ist xn noch viel kleiner; für große n tut das n! im Nenner das Seinige, um das Restglied klein zu machen; wir machen also keinen großen Fehler, wenn wir das Restglied einfach vernachlässigen, und können f(x) aus den restlichen (berechenbaren) Termen ziemlich genau bestimmen — – ­ - vorausgesetzt, der letzte Bestandteil des Restglieds, f (n + 1)(x*), hält sich in Grenzen. Den kennen wir nämlich meistens nicht, können ihn allenfalls abschätzen.

Also: Die Taylorreihe verschafft uns eine gewisse unscharfe Information über das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines Punktes, in dem wir über sie Bescheid wissen. Wie unscharf, wissen wir im Prinzip auch, in der Praxis meistens nicht, weil wir die Funktion nicht kennen (und wenn wir sie kennen würden, müssten wir uns nicht mit der Taylorreihe rumquälen). Diese (unvermeidliche) Unklarheit vererbt sich auf die Aussagen, die wir später mit Hilfe der Taylorreihe herleiten.

Einige Reihenentwicklungen an der Stelle x = 0:

sin(x) = ¥
å
n = 0 		(-1)n x2n + 1
(2n + 1)! 		= x - x3
3! 		+ x5
5! 		- x7
7! 		+ x9
9! 		- ...
cos(x) = ¥
å
n = 0 		(-1)n x2n
(2n)! 		= 1 - x2
2! 		+ x4
4! 		- x6
6! 		+ x8
8! 		- ...
ex = ¥
å
n = 0 		xn
n! 		= 1 + x + x2
2! 		+ x3
3! 		+ x4
4! 		+ x5
5! 		+ x6
6! 		+ ...
ln(1 + x) = ¥
å
n = 1 		(-1)n - 1 xn
n 		= x - x2
2 		+ x3
3 		- x4
4 		+ x5
5 		- x6
6 		+ ... , -1 < x £ 1
arctan(x) = ¥
å
n = 1 		(-1)n - 1 x2n - 1
2n - 1 		= x - x3
3 		+ x5
5 		- x7
7 		+ x9
9 		- ... , -1 £ x £ 1

Definition des Integrals

Gegeben sei eine Funktion f(x), die in x0 £ x £ xn stetig sei. Man unterteilt das Intervall [x0, xn] in n Teilintervalle durch die Punkte x1, x2, x3, ... , xn - 1. In jedem dieser Teilintervalle sei ein Punkt x*j ausgewählt und f(x*j) sein Funktionswert. Man multipliziert nun jeweils diesen Funktionswert mit der Länge des Teilintervalls Dxk = xk - xk - 1 (die nicht konstant sein muss) und bildet die Summe:

f(x*1)(x1 - x0) + f(x*2)(x2 - x1) + f(x*3)(x3 - x2) + ... + f(x*n)(xn - xn - 1) = n
å
k = 1 		f(x*k)Dxk.
Geometrisch bedeutet diese Summe eine Annäherung der Fläche unter der Kurve von f(x) durch Rechtecke. Existiert der Grenzwert


lim
Dx®0
n®¥ 		n
å
k = 1 		f(x*k)Dxk
(und hängt er nicht von der Intervallzerlegung ab), so wird er das bestimmte Integral von f(x) zwischen a und b,
ó
õ 		b

a 		f(x) dx
genannt. Dabei heißt f(x) der Integrand, x Integrationsvariable, [a, b] Integrationsbereich und a und b Integrationsgrenzen. Es stellt sich heraus, dass in der Integralrechnung die umgekehrte Grundaufgabe vorliegt wie in der Differentialrechnung, nämlich das Auffinden einer Funktion F(x), deren Ableitung gleich f(x) ist, einer sogenannten Stammfunktion von f(x). Da die Konstanten beim Differenzieren verschwinden, gibt es unendlich viele verschiedene Stammfunktionen zu einer Funktion f(x), die sich nur um eine Integrationskonstante C unterscheiden. Ihre Graphen gehen durch Verschiebungen in y-Richtung auseinander hervor. Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion wird unbestimmtes Integral von f,
ó
õ 		f(x) dx ,
genannt. Durch eine Anfangsbedingung kann die Integrationskonstante festgelegt und eine bestimmte Funktion, Integralfunktion genannt, herausgegriffen werden:
I(x) = ó
õ 		x

a 		f(x) dx = F(x) - F(a).
Das bestimmte Integral ist nun ein bestimmter Wert einer solchen Funktion und bedeutet geometrisch die Festlegung des variablen rechten Randes durch einen bestimmten Punkt b.

Einige Grundintegrale:

ó
õ 		xn dx = xn + 1
n + 1
 + C
ó
õ 		dx
x 		= ln |x| + C
ó
õ 		sin x dx = - cos x + C
ó
õ 		cos x dx = sin x + C
ó
õ 		ex dx = ex + C

Zwei Freunde sitzen in der Kneipe und erregen sich über die mathematische Unbildung der Menschen - vor allem Alfred. Bruno hält dagegen, so schlimm sei es doch gar nicht, und gewisse mathematische Kenntnisse seien in der Allgemeinheit durchaus verbreitet. Als Alfred austreten muss, winkt Bruno die Kellnerin herbei: "Ich will meinem Freund einen Streich spielen. Ich werde Sie vor seinen Ohren fragen, wieviel ò x dx ist, und Sie antworten einfach x2/2." Kaum kommt Alfred vom Klo zurück, ruft Bruno, um seine Behauptung zu "beweisen", die Kellnerin herbei, fragt: "Wieviel ist ò x dx?", die Kellnerin antwortet "x2/2", dem Alfred klappt der Unterkiefer runter, da wendet sich die Kellnerin zum Gehen und sagt über die Schulter weg "plus C".

Nie die Integrationskonstante vergessen!

Partielle Integration

Die Produktregel der Differentiation lautet

d(uv)
dx 		= du
dx 		v + u dv
dx
oder auch
(uv)¢ = u¢v + uv¢.
Durch Integrieren erhält man
uv + C = ó
õ 		u¢v dx + ó
õ 		uv¢ dx
oder
ó
õ 		uv¢ dx = uv - ó
õ 		uv¢ dx.
Diese Formel kann angewendet werden, wenn der Integrand das Produkt zweier Terme ist, von denen der eine leicht integriert und der andere leicht differenziert werden kann. Partielles Integrieren bringt im Allgemeinen nur dann etwas ein, wenn uv¢ leichter zu integrieren ist als u¢v. Dabei ist die Wahl von u und v¢ entscheidend für den Erfolg des Verfahrens.

Numerische Integration

Man erhält bereits einige Näherungsformeln für bestimmte Integrale, wenn man statt des Grenzwerts eine der Größen berechnet, die gegen diesen Grenzwert konvergieren:

ó
õ 		b

a 		f(x) dx » n
å
k = 1 		f(xk)Dxk   (Wert am rechten Rand des Teilintervalls) oder
ó
õ 		b

a 		f(x) dx » n
å
k = 1 		f(xk - 1)Dxk   (Wert am linken Rand) oder
ó
õ 		b

a 		f(x) dx » n
å
k = 1 		f( xk + xk - 1
2 		)Dxk   (Wert in der Intervallmitte)
Eine weitere Formel ergibt sich, wenn man statt der Rechtecke Trapeze verwendet:
ó
õ 		b

a 		f(x) dx » n
å
k = 1 		1
2 		(f(xk) + f(xk - 1))Dxk.
Wenn alle Dxk gleich sind, lässt sich das umformen zu
æ
ç
è 		1
2
 f(a) + n - 1
å
k = 1 		f(xk) + 1
2
 f(b) ö
÷
ø 		Dx.
Oder man approximiert den Integranden nicht durch einen Streckenzug (wie bei der Trapezregel), sondern durch Parabelstücke. Daraus ergibt sich die Simpson-Regel (wieder mit konstanten Dx, n muss gerade sein):
ó
õ 		b

a 		f(x) dx » Dx
3
 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn - 2) + 4f(xn - 1) + f(xn)).

Literatur

Leupold, Conrad, Völkel: Analysis für Ingenieure. Harri Deutsch, Frankfurt a. M. und Zürich.
Ayres: Differential- und Integralrechnung. Schaum's Outline Series/McGraw-Hill Book Company.
Spiegel: Vektoranalysis. Schaum's Outline Series/McGraw-Hill Book Company.
Dallmann, Elster: Einführung in die höhere Mathematik 1. Vieweg, Braunschweig.
Brauch, Dreyer, Haacke: Mathematik für Ingenieure. B. G. Teubner, Stuttgart.
Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2. Vieweg, Braunschweig.

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