[zurück]

Funktionen von mehreren Veränderlichen (Natalja Deng)

[vor]

Unter einer Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen versteht man eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlenpaar (x, y) aus einer Menge D genau ein Element aus einer Menge W zuordnet:

oder

Analog gelangt man zu Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen:

Eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen lässt sich als Fläche im 3-dimensionalen Raum deuten; der Funktionswert besitzt dann die Bedeutung einer Höhenkoordinate und der Definitionsbereich die eines Gebietes in der (x, y)-Ebene. Eine andere Darstellung ist das Höhenliniendiagramm. Hierbei werden alle Linien gleicher Höhe (das heißt gleichen f-Wertes) in die (x, y)-Ebene projiziert.

Partielle Ableitungen

(Die folgenden Beziehungen gelten entsprechend für Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen; nur die geometrische Veranschaulichung entfällt.) Unter der ersten partiellen Ableitung einer Funktion f(x, y) = z versteht man den Grenzwert:

Die partielle Ableitung nach y wird entsprechend definiert. Geometrisch bedeuten die partiellen Ableitungen den Anstieg der Flächentangente in der jeweiligen Koordinatenrichtung. Man kann sich dabei vorstellen, dass eine Ebene y = const. mit der Funktionsfläche zum Schnitt gebracht wird. Mit dieser Veranschaulichung im Einklang steht die Technik des partiellen Differenzierens: In der Funktionsgleichung werden alle Variablen bis auf die, nach der differenziert wird, als konstant angesehen. Dann werden die bekannten Ableitungsregeln für gewöhnliche Funktionen angewendet. Die partiellen Differentialoperatoren ¶ / ¶x und ¶ / ¶y erzeugen aus einer Funktion durch ihr Einwirken die partiellen Ableitungen:

Werden die partiellen Ableitungen erster Ordnung, die ja wieder Funktionen von x und y sind, wiederum partiell differenziert, so entstehen höhere partielle Ableitungen, z. B.

Dabei darf die Reihenfolge der gemischten partiellen Ableitungen in den meisten Fällen vertauscht werden, nämlich genau dann, wenn die Funktion und ihre partiellen Ableitungen stetig sind.

An die Stelle der Kurventangente bei Funktionen einer Veränderlichen tritt bei Funktionen mehrerer Veränderlicher die Tangentialebene in einem Punkt (x, y). Sie berührt die Funktionsfläche in diesem Punkt und enthält sämtliche in diesem Punkt an die Fläche angelegten Tangenten. Der Zuwachs der Höhenkoordinate entlang der Tangentialebene wird beschrieben durch das vollständige oder totale Differential

das, wie bei gewöhnlichen Funktionen, bei kleinem Zuwachs in den unabhängigen Veränderlichen eine gute Näherung für Dz, die Änderung des Funktionswertes, darstellt.

Ableitung zusammengesetzter Funktionen

Wenn in z = f(x, y) die Variablen x und y selbst Funktionen von Parametern r und s sind, so dass z = f(x(r, s), y(r, s)), dann gilt

und

Hängen speziell x und y nur von einem Parameter r ab, so gilt

Entsprechendes gilt für Funktionen mit mehr Veränderlichen und/oder mehr Parametern.

Gerade d's schreibt man, wenn es - in dem jeweiligen Kontext - nur eine einzige unabhängige Variable gibt; krumme sind in dem Falle nicht falsch. Aber krumme muss man schreiben, wenn es mehr als eine unabhängige Variable gibt. Das ist eine Vorsichtsmaßnahme gegen die Schlampigkeit der Physiker! Wenn die sowas wie dz / dx dx / dt sehen, dann kürzen die hastdunichtgesehen mit dx. Den Mathematiker schaudert's, aber in dem Fall kommt sogar das Richtige raus (Kettenregel). In Fällen wie dem obigen dagegen wäre das Kürzen genau falsch. Das krumme Schwänzchen vom ¶ ist also ein Widerhaken, der das ¶ daran hindern soll, aus Versehen durch den Bruchstrich zu flutschen.

Vektoren

Vektoren werden auf unterschiedliche Arten dargestellt. Wenn A₁, A₂ und A₃ die Komponenten eines Vektors A in x-, y-, z-Richtung sind, so ist

Es gilt

Länge oder Betrag: |A| = Ö(A₁² + A₂² + A₃²)

Man kann einen Vektor also als Zeilen- oder als Spaltenvektor schreiben. Im Zusammenhang mit Matrizen (siehe den Beitrag von Christian Moldenhauer) muss man der Korrektheit halber die Spaltenschreibweise verwenden.

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist definiert als A · B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃. Es gilt A · B = |A| · |B| · cos a, wobei a der Zwischenwinkel der von Pfeilen repräsentierten Vektoren ist. Das Skalarprodukt ist kommutativ. Ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren null, und ist keiner von ihnen der Nullvektor, so stehen sie senkrecht aufeinander.

Eine Funktion, die jedem n-Tupel (x₁, x₂, ... , x_n) eine Zahl zuordnet, heißt skalare Funktion (von dieser Art waren alle Funktionen, die wir bisher betrachtet haben). Eine skalare Funktion F(x, y, z), die jedem Raumpunkt (x, y, z) eine Zahl (z. B. Temperatur) zuordnet, heißt ein skalares Feld. Entsprechend heißt eine Funktion, die jedem Raumpunkt mehr als eine Zahl (sprich: einen Vektor) zuordnet, ein Vektorfeld. Typische Beispiele sind Kraftfelder oder Magnetfelder (Vektor der magnetischen Feldstärke).

Der Nabla-Operator ist definiert als

Er ist ein Differentialoperator, der formal wie ein Vektor behandelt wird. Mit ihm definiert man den Gradienten eines skalaren Feldes F(x, y, z):

Der Gradient von F ist also der Vektor, der die partiellen Ableitungen von F als Komponenten hat, und definiert ein Vektorfeld. Der Gradient zeigt in jedem Punkt in Richtung des steilsten Anstieges und steht senkrecht auf einer Höhenlinie.

Ist V(x, y, z) eine vektorwertige Funktion, so definiert man

als die Divergenz von V. Ein Beispiel für die Divergenz eines Vektorfeldes findet sich in den Maxwell'schen Gleichungen: die Ladungsdichte ist die Divergenz des elektrischen Feldes.

wird Laplace'scher Operator genannt.

Mehrdimensionale Integration

Die Herleitung des Zweifachintegrals erfolgt analog zu der des einfachen bestimmten Integrals. Anstelle der Berechnung eines Flächeninhaltes tritt die eines Volumens, die Teilintervalle werden zu Teilgebieten DA_k. Man erhält

Die Berechnung eines solchen Doppelintegrals erfolgt in zwei gewöhnlichen Integrationsschritten. Wenn etwa die Fläche A, über die integriert werden soll, gleich dem Gebiet zwischen den Graphen zweier Funktionen f_u(x) (unten) und f_o(x) (oben) ist, berechnet man

Im ersten Schritt (Auswertung des inneren Integrals) wird x als konstant angesehen und nach y integriert. Da die Integrationsgrenzen variabel sind, erhält man als Ergebnis eine von x abhängige Funktion. Diese wird im zweiten Schritt in den Grenzen von a bis b nach x integriert. Die Definition von mehrdimensionalen Integralen erfolgt entsprechend; ebenso ihre Berechnung durch mehrere gewöhnliche Integrationen.

Literatur

[zurück]

[Inhaltsverzeichnis]

[vor]