Astro-Lexikon M 1

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Der Machsche Kegel ist eine spezielle Struktur in der Akustik, die bei Körpern beobachtet wird, die sich schnell durch ein Medium bewegen.

Über- und Unterschallgeschwindigkeit

Der Machsche Kegel wurde nach dem österreichischen Physiker und Philosophen Ernst Mach (1838 - 1916) benannt. Er betrachtete die Ausbreitung von Schallwellen, wenn sich Objekte durch ein Medium (z.B. Luft, Wasser) bewegen. Bewegungen schneller als der Schall im betreffenden Medium nennt man supersonisch. Die Machzahl übersteigt dann den Wert 1. Demgegenüber gibt es die subsonischen Bewegungen mit Geschwindigkeiten unterhalb der Schallgeschwindigkeit.

Einhüllende von Schockwellen ist ein Kegel

Bewegt sich ein Objekt schneller als mit Schallgeschwindigkeit (im Allgemeinen abhängig von der Temperatur und der Zusammensetzung des Mediums) im betreffenden Medium, so bilden sich im Medium an der Spitze des Objektes Stoßwellen aus, so genannte Schockwellen. Entlang der Bahn des supersonisch bewegten Körpers werden in jedem Punkt kugelförmige Schockwellen angeregt, die ins Medium propagieren. Die Kugelwellen an jedem Bahnpunkt weisen dabei verschiedene Radien auf, je nachdem wie viel Zeit sie hatten, um zu propagieren. Der Radius ist deshalb größer bei Bahnpunkten, die der Körper vor längerer Zeit passiert hat, als bei dem Punkt, wo er sich aktuell befindet: hier bildet sich die Kugelwelle gerade erst aus und hat einen kleinen Radius. Die Überlagerung all dieser kugelförmigen Stoßwellen, die Einhüllende, formt deshalb einen Kegel, den man Machschen Kegel nennt. Der Sinus des halben Öffnungswinkels des Kegels, des so genannten Machschen Winkels, entspricht gerade dem Quotienten aus Schall- zur Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers. Der Machsche Winkel ist also umso kleiner, je schneller sich der Körper im Medium bewegt.

Analogie zur Cerenkov-Strahlung

In der Strömungsmechanik, Hydro- und Aerodynamik machen sich die Schockwellen akustisch bemerkbar. Der Überschallknall pflanzt sich mit den Schockwellen fort und ist hörbar (bekannt z.B. bei tief fliegenden Düsenjets).
Es gibt jedoch das analoge, optische Pendant: die Cerenkov-Strahlung. Dies ist gerade diejenige elektromagnetische Strahlung, die von Quellen emittiert wird, die sich schneller, als mit der Lichtgeschwindigkeit im betreffenden Medium (der Phasengeschwindigkeit) fortbewegen. Bei der Beschreibung der Cerenkov-Strahlung tritt eine verwandte Physik auf, nur dass die emittierten Wellen nicht mehr akustischer, sondern elektromagnetischer Natur sind. Die Begriffe Machscher Kegel und Machscher Winkel werden hier bisweilen auch ersetzt durch Cerenkov-Kegel und Cerenkov-Winkel.
Sobald ein Körper, der sich durch das Medium bewegt, eine höhere Geschwindigkeit als die Lichtgeschwindigkeit im betreffenden Medium hat (superluminale Bewegung), kommt es zur Emission der Cerenkov-Strahlung. Die Cerenkov-Strahlung ist gewissermaßen ein Regulator, um den superluminal bewegten Emitter auf die Phasengeschwindigkeit im betreffenden Medium abzubremsen. Bei diesem Phänomen kommt es zu keinem Zeitpunkt zur Verletzung der Speziellen Relativitätstheorie, weil die Vakuumlichtgeschwindigkeit c nie überschritten wird.

Das Machsche Prinzip ist eines der wesentlichen Prinzipien, das Albert Einstein zu seiner Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) inspirierte. Einstein setzte sich mit diesem Prinzip stark auseinander, weil er erkannte, dass es Raumzeit nur in Verbindung mit Materie zulässt. Für Einstein hatte die Raumzeit allerdings einen unabhängigen Charakter (vergleiche Vakuum-Feldgleichungen der ART). Neben dem Machschen Prinzip sind wichtige Konzepte, die die ART beeinflussten das Äquivalenzprinzip, das Kovarianzprinzip, das Korrespondenzprinzip und das Prinzip minimaler gravitativer Kopplung.

Der Pionier

Das Machsche Prinzip ist benannt nach dem österreichischen Physiker und Philosophen Ernst Mach (1838 - 1916), der sich aus einer eher philosophischen Perspektive Gedanken zum Gültigkeitsrahmen der Newtonschen Gesetze und ihrer Bedeutung für Bewegung machte (1893). Seine Arbeiten auf dem Gebiet der Physik sind bis heute von hohem Stellenwert (siehe auch Machscher Kegel und Machzahl).

Über das Wesen der Trägheit

In diesem Abschnitt soll es um grundsätzliche Aspekte von Bewegung, Trägheit und Masse gehen. Mach führte den Begriff der relativen Bewegung ein: Bewegung ist immer relativ zu einem Bezugspunkt definiert, zum Beispiel eine relative Bewegung gegenüber dem Hintergrund der Fixsterne. Er folgerte, dass über einen Körper in einem darüber hinaus leeren Universum keine Aussage gemacht werden kann, ob er sich bewege, weil eben der Bezugsrahmen fehle. Erst die Massenverteilung und die Bewegungszustände der Fixsterne legen den Bezugsrahmen fest und sind die Quelle der Trägheitskräfte (z.B. Zentrifugalkraft und Corioliskraft). In diesem Sinne bestimmen relativistisch gesprochen Masse und Energie (der Energie-Impuls-Tensor) dort, bei den Fixsternen, die Trägheit hier.

Die Trägheit ist also nichts anderes als ein Phänomen, das aus der Wechselwirkung aller Körper im Universum zustande kommt!

Die Beschleunigung, die man in der Newtonschen Bewegungsgleichung der Mechanik findet, ist also nur gegenüber einem Bezugsrahmen definiert. Es gibt keine absolute Beschleunigung (ebenso wenig wie einen absoluten Raum), sondern nur relative Beschleunigungen. Dieses Szenario kann man sich auch als Anfangswertproblem vorstellen: gegeben seien die Positionen und Bewegungszustände (Geschwindigkeitsvektoren) sämtlicher Körper im Universum zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Lösung des Anfangswertproblems liefert sämtliche Trägheitseigenschaften von Testteilchen zu allen Zeiten, sowohl in der Vergangenheit, als auch in der Zukunft. Das 'Universum' ist dabei eine geschlossene, raumartige Hyperfläche, also ein geschlossener 3D-Raum. Die Lösung des Anfangswertproblems, einer Bewegungsgleichung, liefert dann den 4D-Raum, die Raumzeit, in Vergangenheit und Zukunft.

Aus dem Machschen Prinzip folgt axiomatisch:

• Materieverteilungen bestimmen Geometrie.
• Ohne Materie, keine Geometrie.
• Ein Körper im leeren Universum hat keine Trägheitseigenschaften.

Bezug zu Einstein

Die erste Aussage ist von besonderer Bedeutung, findet sie doch ihren mathematischen Niederschlag in den Einsteinschen Feldgleichungen der ART.
Der de-Sitter-Kosmos, ein materiefreies Universum mit positiver kosmologischer Konstante verletzt somit das Machsche Prinzip, denn es handelt sich um eine Raumzeit (Geometrie) ohne Körper (siehe zweite Aussage)!

Die Machzahl ist eine wichtige Kenngröße in der Strömungsmechanik und Hydrodynamik. Sie wurde von dem österreichischen Physiker und Philosophen Ernst Mach (1838 - 1916) gefunden und entspricht dem Verhältnis der Geschwindigkeit eines bewegten Körper und der Schallgeschwindigkeit des Mediums, in dem er sich bewegt.

Wir kennen's von Flugzeugen

Bekannt ist dies in der Aerodynamik: so gibt es Flugzeuge die Mach 1 (einfache Schallgeschwindigkeit) und Mach 2 (doppelte bzw. Überschallgeschwindigkeit) fliegen können. Oberhalb der Schallgeschwindigkeit wird 'die Schallmauer durchbrochen', und vor dem bewegenden Objekt breitet sich eine Schockwelle aus. Die Einhüllende vieler solcher Stoßwellen bilden den Machschen Kegel. Die Bewegung unterhalb der Schallgeschwindigkeit (M kleiner 1) nennt man subsonisch, oberhalb von der Schallgeschwindigkeit (M größer 1) heißt sie supersonisch.

Analogie von Akustik und Optik

Während bei der Cerenkov-Strahlung ein Lichtblitz entsteht, gibt es bei überschallschnellen Bewegungen in der Akustik den Überschallknall. Ein einfaches Beispiel ist die Peitsche. Der Knall der Peitsche resultiert aus der supersonischen Bewegung der kleinen Peitschenspitze.

Damit bezeichnet man eine spezielle Form von Pulsaren (also Neutronensternen), die ein abnorm hohes Magnetfeld in der Größenordnung von 10¹⁵ bis 10¹⁶ Gauß und mehr besitzen! Ein typischer, normaler Neutronenstern hat hingegen 'nur' Feldstärken von 10¹² bis 10¹³ Gauß. Das sind extreme Feldstärken: die stärksten Magnetfelder auf der Erde haben etwa eine Million Gauß (also 100 Tesla; 1 Tesla = 10000 Gauß).

Magnetare im Pulsar-HRD

In der Stellarastronomie bezeichnet das Hertzsprung-Russell-Diagramm (HRD) der Sterne eine doppellogarithmische Auftragung der Leuchtkraft eines Sterns über seiner Effektivtemperatur oder Spektralklasse.
Etwas Ähnliches gibt es in der Pulsarastronomie: hier heißt es Pulsar-HRD und entspricht einer Auftragung von Periodenabnahme über Periodendauer der Pulse. Die Magnetare bevölkern in diesem Diagramm den Bereich langsam rotierender Neutronensterne. In einem Übergangsbereich zu den kürzeren Perioden befinden sich die so genannten AXPs, während sich dann das Gros der Pulsare anschließt mit den schnellsten Rotationen im Bereich von Millisekunden.

Ursprung der Magnetare starken Magnetfelder

Folgende Entstehungsszenarien wurden vorgeschlagen:

• Dynamo-Prozess: Dieser Effekt ist schon länger bekannt. Hier werden die Magnetfelder, die den Magnetar in Form einer Magnetosphäre umhüllen, durch die schnelle Rotation mitgeschleppt und aufgewickelt. Im Feldlinienbild steht eine hohe Feldliniendichte für ein starkes Magnetfeld (Arbeiten von Duncan et al.).
• Artefakt der MRI: Ein neuerer Zugang wurde in Anlehnung an die MHD-Akkretionsphysik gefunden. Die so genannte magnetische Rotationsinstabilität (MRI) (auch Balbus-Hawley-Instabilität genannt) soll die starken Felder bereits vor der eigentlichen Magnetarphase erzeugen. Bereits bei der Bildung des Neutronensterns aus einem massereichen Vorläuferstern (core-collapse pre-neutron star, CC PreNS), sollen sich über den Mechanismus dieser Instabilität schwache Saatmagnetfelder in den Schalen des CC PreNS bis zu einer Sättigungsgrenze von 10¹⁶ Gauß aufbauen!

Es liegt auf der Hand, dass bereits vorhandene Felder des Vorläufersterns im Gravitationskollaps mitgerissen und verstärkt werden. Über Synchrotronstrahlung sind diese Felder in Betrag und Richtung (Polarisation) der astronomischen Beobachtung zugänglich.

magnetische Rotationsbremse

Die gemessene langsame Rotation vieler Magnetare im Vergleich zu anderen Pulsaren ist kein Zufall: letztendlich sind die hohen Magnetfelder dafür verantwortlich, weil sie einen Anti-Frame-Dragging-Effekt hervorrufen, d.h. die Magnetosphäre bremst die Rotation der Raumzeit dieser kompakten Objekte. Dies konnte von Ioka & Sasaki (astro-ph/0305352, 2003) gezeigt werden. Diese Arbeit ist in der allgemein relativistischen Magnetohydrodynamik (GRMHD für General Relativistic Magnetohydrodynamics) bzw. einer Theorie magnetisierter, relativistischer Sterne anzusiedeln. Diese schöne Anwendung der ART sei im Folgenden kurz skizziert.

Blick ins Innere des Magnetars

Man setzt den Energie-Impuls-Tensor der idealen (d.h. perfekte Leitfähigkeit) Magnetohydrodynamik an und zerlegt die vierdimensionale Raumzeit (ganz ähnlich dem ADM-Formalismus) in einem (2+1)+1 Split gemäß der Arbeit von Gourgoulhon & Bonazzola (1993). Nun formuliert man die relativistische Grad-Shafranov-Gleichung des Problems, die die Information über den magnetischen Fluss enthält. Eine fast schon historische Methode erweist sich als nützlich: Regge & Wheeler betrachteten bereits 1965 in allgemeiner Form Störungen auf der Schwarzschild-Metrik. Genau dieser Formalismus wurde ausgenutzt, um die Metrik des Magnetars zu zerlegen. Die Störung ist dabei das Magnetfeld, weil die im Magnetfeld gespeicherte Energie natürlich eine Auswirkung auf die Krümmung der Raumzeit hat. Nun entwickelt man die skalare Flussfunktion in Multipolen (Legendre-Polynomen). So leitet man schließlich ein relativistisches Eigenwert-Problem ab und studiert unter verschiedenen Randbedingungen die so zerlegte Magnetosphäre des Magnetars. Ioka & Sasaki konnten erstmals meridionale Zirkulationen des polytropisch beschriebenen Plasmas innerhalb des Magnetars untersuchen. Sicherlich ist die Zustandsgleichung eines Polytropen nur eine 'nullte Näherung' für das exotische Innere des (Prä-)Neutronensterns und wird modifiziert werden müssen. Das Magnetfeld wurde so angelegt, dass es innerhalb des Magnetars eingeschlossen ist und an der Oberfläche verschwindet. Auch hier werden sicher andere Randbedingungen mit endlicher Feldstärke folgen. Interessanterweise ist durch die Ausbildung eines meridionalen Plasmaflusses entlang der Rotationsachse des Kompaktors die Reflektionssymmetrie zwischen Nord- und Südhalbkugel verletzt! Anders gesagt gibt es eine Vorzugsrichtung beim Magnetar, entlang derer einseitige Jets ausbrechen könnten, wie spekuliert wird.

Wie die schnelle Drehung zerfallen könnte

Es gibt in der Fülle der beobachteten und klassifizierten Neutronensterne ein hypothetisches Entwicklungsszenario: Nach einer Supernova Typ II, der klassischen core-collapse SN, entsteht ein schnell rotierender Magnetar, der die ersten etwa 10000 Jahre als so genannter Soft Gamma Ray Repeater (SGR) in Erscheinung tritt. Ein SGR ist ein Emitter weicher Gammastrahlung. Sie wurden 1979 entdeckt und senden wiederholte, hochenergetische Ausbrüche im Spektralbereich der Gammastrahlung aus, was durch Rekonnexionsprozesse starker, stellarer Magnetfelder erklärt wird (Thompson & Duncan, 1995). Dabei gibt es Frakturen in der Kruste des Neutronensterns, aus denen die Energie der Magnetfelder freigesetzt werden kann. Die sich wiederholenden Gamma-Bursts klingen mit der Zeit ab und in weiteren etwa 30000 Jahren offenbart sich der Magnetar als Anomalous X-ray pulsar (AXP), also als anomaler Röntgenpulsar. Die Rotationsperiode nimmt weiter zu, die Rotation wird immer langsamer, was durch bereits erwähnte Anti-Frame-Dragging-Prozesse geleistet wird und dadurch, dass Energie durch Sternenbeben in der Neutronensternkruste abgeführt wird. Weitere 30000 bis 100000 Jahre später ist der AXP nur noch ein dunkler, kaum beobachtbarer, langsam rotierender Neutronenstern: ein toter Magnetar.

Bekannte Vertreter

Beispiel für Magnetare, AXPs und SGRs sind 1E1841-045 (AXP), SGR 1806-20, SGR 1900+14 und SGR 0525-66. Auch der langsame (2.7 h Periode) Pulsar 2S 0114+650 wird als Magnetar interpretiert (Li et al., 1999, astro-ph/9901084).

Instabilitäten sind von allgemeinem Interesse in der Fluiddynamik, weil sie die Dynamik von Strömungen beeinflussen. Die Fluiddynamik kann in die beiden Teildisziplinen Hydrodynamik (HD) und Magnetohydrodynamik (MHD) untergliedert werden. Bei der MHD kommen elektrische und magnetische Felder hinzu, die einen Einfluss auf die Bewegung astrophysikalischer Plasmen haben.
Die magnetische Rotationsinstabilität beeinflusst entscheidend die Dynamik rotierender Plasmen, die in schwache Magnetfelder eingetaucht sind. Wie das genau funktioniert, soll in diesem Abschnitt geklärt werden.

Vorbereitung: Einfall von Materie

In der Akkretionsphysik untersuchen die Astrophysiker Strömungen, die sich auf ein Zentralobjekt bewegen. Materie wird aufgrund der Gravitation von einer Zentralmasse angezogen und führt zum Anwachsen dieser akkretierenden Masse. Diese so genannten Akkretoren können gewöhnliche Sterne, Protosterne, aber auch kompakte Objekte wie Weiße Zwerge, Neutronensterne oder Schwarze Löcher sein.
Typischerweise rotiert die akkretierte Materie um den Akkretor und bewegt sich dabei nach innen. Es bildet sich eine Akkretionsscheibe aus, die sehr erfolgreich mit Standardscheiben beschrieben werden kann. Daneben gibt es ganz verschiedene Formen von Akkretionsflüssen.

Zutaten: Magnetfelder & Rotation

Ein Phänomen von großer Bedeutung in der MHD-Akkretionsphysik ist nun die Magnetorotationsinstabilität oder magnetische Rotationsinstabilität (engl. magneto-rotational instability, kurz MRI). Wie der Name der Instabilität andeutet sind die wesentlichen Zutaten Magnetfelder und Rotation. Beides ist natürlicherweise in heißen Akkretionsflüssen vorhanden, weil die hohe Temperatur das akkretierte Material ionisiert und weil dieses Material Drehimpuls besitzt. Beide Zutaten der MRI müssen jedoch bestimmte Kriterien erfüllen: die Magnetfelder müssen schwach sein und die Rotation differenziell. Aufgrund des ersten Kriteriums heißt die MRI bisweilen auch 'Instabilität schwacher Magnetfelder' (griffiger als englische Bezeichnung: weak field instability). Die MRI funktioniert nur bei schwachen Magnetfeldern, die natürlicherweise mit dem bewegten Akkretionsplasma assoziiert sind. Bei starken Magnetfeldern (für Experten: Felder an der Äquipartitionsschwelle) wird die MRI unterdrückt.

Funktionsweise anhand eines mechanischen Modells

Schematisch ist oben eine rotierende Scheibe dargestellt (violett), bei der es sich um den rotierenden Akkretionsfluss um ein Schwarzes Loch (schwarz ausgefüllter Kreis in der Mitte) handeln möge. Es wird angenommen, dass die Scheibe gegen den Uhrzeigersinn rotiert. Aus der Akkretionsscheibe werden nun zwei Testteilchen herausgegriffen, die auf einer Linie liegen (kollinear), sich aber im Abstand zum Drehzentrum unterscheiden. Zwischen beiden Testteilchen wirkt eine anziehende Kraft: Im realen MHD-Fluss ist das die gemeinsame Magnetfeldlinie, die versucht die beiden Plasmateilchen zusammenzuhalten. Hier, im mechanischen Modell, wird die anziehende Kraft durch eine Metallfeder symbolisiert. Stellen wir uns nun vor, dass man die Rotation der Scheibe einschalten könnte. Die Abbildung links oben ist ein Schnappschuss zu einem Zeitpunkt, bevor die Rotation startet: Die Testteilchen sind locker durch die Feder verbunden. Auf die Feder in entspannter Ruhelage wirken keine Kräfte. Rechts unten wurde die Rotation in Gang gesetzt. Was passiert mit den Testteilchen?
Die Testteilchen rotieren differenziell, so dass das innere Testteilchen das äußere überholt. Als Folge dessen dehnt sich die Feder, weil die Teilchen nach und nach getrennt werden (engl. to stretch: dehnen). Die Feder bzw. die Magnetfeldlinie widersteht der Trennung der Testteilchen entlang der Verbindungslinie und wirkt stabilisierend. In tangentialer Richtung, also in Drehrichtung, versucht die Feder allerdings der Scherung (engl. to shear: scheren) entgegenzuwirken, um eine starre Rotation beizubehalten. Dieser Effekt ist destabilisierend! Die Feder bzw. das Magnetfeld zwingt das Testteilchen zu schnell für seinen neuen, näheren Abstand zu rotieren. Das äußere Testteilchen wird deshalb beschleunigt, während das innere Testteilchen abgebremst wird. Anders gesagt: Durch die MRI transportieren innere Plasmateilchen im Akkretionsfluss Drehimpuls nach außen zu äußeren Plasmateilchen. Sie ist ein sehr effizienter Mechanismus für den Drehimpulstransport in magnetischen Akkretionsflüssen.

Drehimpulstransport als Voraussetzung für Materieeinfall

Der Drehimpuls wird also nach außen auf benachbarte Teilchen abgeführt. So kann das Plasma überhaupt erst in den Bereich des Akkretors gelangen und z.B. in ein Schwarze Loch fallen. Würde der Drehimpuls nicht nach außen transportiert werden, so würde das Teilchen zu schnell rotieren, nicht einfallen und nach außen beschleunigt werden. Physiker sagen in diesem Fall, es würde an der Drehimpulsbarriere reflektiert werden.
Die MRI sorgt über diesen Effekt auch für die magnetische Turbulenz (engl. magnetic turbulence) im Akkretionsfluss. Mittlerweile wird dies gegenüber der rein hydrodynamischen Turbulenz favorisiert. Die MRI konnte 1991 von den Astrophysikern Balbus und Hawley abgeleitet werden. Bisweilen sprechen Akkretionsphysiker deshalb von der Balbus-Hawley Instabilität (BHI). Inzwischen wurde ihre Funktionsweise vielfältig in MHD-Simulationen demonstriert z.B. von De Villiers & Hawley 2002. Die MRI ist ein bedeutsamer Mechanismus in der magnetohydrodynamischen Akkretionsphysik.

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© Andreas Müller, August 2007

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