funktionentheoretischer Begriff.

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f: ∂G → ℝ eine beschränkte Funktion, d. h. es existiert eine Konstante M ≥ 0 mit | f (ζ)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂G. Weiter sei \({\mathcal{P}}(f,G)\) die Menge aller subharmonischen Funktionen v in G derart, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{z\to \zeta }\,v(z)\le f(\zeta )\end{eqnarray} für alle ζ ∈ ∂G gilt, d.h., zu jedem ζ ∈ ∂G und jedem ϵ > 0 existiert eine offene Umgebung U von ζ mit \begin{eqnarray}v(z)\lt f(\zeta )+\varepsilon \end{eqnarray} für alle z ∈ U ∩ G. Dann heißt \({\mathcal{P}}(f,G)\) eine Perronsche Familie bezüglich f und G.

Da f beschränkt ist, folgt \({\mathcal{P}}(f,G)\ne \varnothing \), denn die konstante Funktion v(z) = −M liegt in \({\mathcal{P}}(f,G)\). Falls G oder f unbeschränkt sind, so sind zur Definition der zugehörigen Perronschen Familie geringfügige Modifikationen notwendig.

Perronsche Familien spielen eine wichtige Rolle bei der Lösung des Dirichlet-Problems in der Ebene. Siehe auch Perronsches Prinzip.