Auf welchem Weg rollt eine Kugel am schnellsten von A runter nach B?

a) a)
b) b)
c) c)

Antwort:

Der schnellste Weg ist nicht der k�rzeste, es ist c).

Erkl�rung:

Auf den ersten Blick erscheint es paradox, dass die Kugel in diesem Beispiel ausgerechnet den l�ngsten Weg zwischen den beiden Punkten in k�rzester Zeit bew�ltigt. Zun�chst w�rde man wohl erwarten, dass sie den k�rzesten Weg, die Gerade, am schnellsten herunterrollt.

Doch dem ist nicht so. Zwar ist der Weg c) l�nger, doch daf�r ist die Geschwindigkeit der Kugel auf weiten Teilen der Strecke deutlich gr��er als in a) oder b). Der Grund: Es geht auf der Kurve c) steiler bergab, das hei�t, mehr potentielle Energie wird in Bewegungsenergie umgesetzt. Selbstredend darf die Rollbahn nicht beliebig steil sein, sonst kommt die Kugel gar nicht mehr ans Ziel. Die Kunst ist also, eine Kurve zwischen zwei Punkten A und B unterschiedlicher H�he zu finden, welche die Kugel am schnellsten hinabrollen kann.

Schon 1696 stellte Johann (I) Bernoulli (1667-1748) dieses so genannte Brachistochronenproblem, wobei eine Brachistochrone eben jene geschwindigkeitsoptimale verbindende Kurve darstellt. Brachistos chronos ist griechisch und bedeutet in "k�rzester Zeit". Zusammen mit seinem Bruder Jakob (I) entwickelte Johann Bernoulli eine L�sung f�r das Problem und begr�ndete damit die Variationsrechnung.