Mathematische Knobelei: Bombenstress im Tiefschnee
Es hätte nicht viel gefehlt und die olympischen Winterspiele wären in Mathemazumbien ausgetragen worden. Die Loipen waren wedelfreudig, die Stadien jubelhaftig und die Infrastruktur in alle Richtungen unbeschränkt. Wenn da nicht das Problem mit den Klimaterroristen wäre. Und wenn deren zarte Schmelzbomben nicht so schwer zu entschärfen wären.
Der Tag beginnt morgens um vier für das Spezialkommando. Mit schrill stehenden Wellen katapultiert die Alarmsirene die Männer und Frauen aus den Betten. Sieben Minuten und dreiundvierzig Sekunden später ist Appell. Nach weiteren drei Minuten und siebzehn Sekunden Lagebesprechung. Diesmal ist es keine Übung, diesmal werden sie ihr Können im Ernstfall beweisen müssen.
Ein nächtlicher Bergsteiger hat auf seiner Tour an der Südwand des Integralhorns einen seltsamen zylindrischen Behälter entdeckt, den er sogleich als thermische Entfrosterbombe identifizieren konnte. Wohl hat er sich gehütet, den Zylinder zu berühren oder gar zu öffnen. Die lila Warnfarbe und der ringsum bereits angetaute Schnee ließen aber keine Zweifel aufkommen, in welcher Gefahr die mathemazumbischen Alpen offenbar stecken. Umgehend benachrichtigte der Sportler die örtlichen Schneemurmeltierzüchter, die sofort Großalarm auslösten.
Das Entschärfungskommando ist informiert - da wird der Nummer drei übel. Sie ist dem Druck nicht gewachsen. Die Vorstellung, einen einzigen Fehler zu begehen... die Entfrosterbombe versehentlich auszulösen... die thermische Schockwelle über das gesamte Wintersportgebiet wandern zu sehen... das Bild von hunderten Rodelschlitten auf grünem Gras... Es braucht Nerven wie Kevlarseile, um angesichts der Gefahr ruhig zu bleiben. Nummer drei hat diese Nerven nicht. Und das Team hat nun keine Nummer drei mehr.
Die Zeit drängt. In der Eile bleibt nur eine Lösung: Sie müssen einspringen! Die Situation ist Ihnen bekannt. Alles, was Sie nun noch wissen müssen, ist, wie man die thermische Entfrosterbombe entschärfen kann. Im Prinzip ist das ganz einfach: Sie schrauben den Deckel des Zylinders ab, entnehmen die große Zeitgeber-Kugel und stecken die kleinen Thermosprengsätze in spezielle Isolatorgefäße. Das ist alles.
Der Haken an dem Auftrag ist nur, dass die Isolatorgefäße äußerst schwer und unhandlich sind. Damit Ihr Kommando nicht durch unnützen Ballast aufgehalten wird, kann es darum nur die wirklich notwendige Anzahl mitnehmen. Und die müssen Sie jetzt schnell bestimmen. Also wie viele kleine Kugeln passen maximal in den Zylinder, wenn jede sowohl dessen Boden als auch die große Zeitgeber-Kugel berühren muss? Diese hat übrigens einen Durchmesser, der genau dem Öffnungsdurchmesser des Zylinders entspricht, und außerdem berührt sie ebenfalls den Boden.
Haben Sie die Lösung? Dann viel Glück auf dem Weg zum Integralhorn. Sie werden es brauchen!
Ein nächtlicher Bergsteiger hat auf seiner Tour an der Südwand des Integralhorns einen seltsamen zylindrischen Behälter entdeckt, den er sogleich als thermische Entfrosterbombe identifizieren konnte. Wohl hat er sich gehütet, den Zylinder zu berühren oder gar zu öffnen. Die lila Warnfarbe und der ringsum bereits angetaute Schnee ließen aber keine Zweifel aufkommen, in welcher Gefahr die mathemazumbischen Alpen offenbar stecken. Umgehend benachrichtigte der Sportler die örtlichen Schneemurmeltierzüchter, die sofort Großalarm auslösten.
Das Entschärfungskommando ist informiert - da wird der Nummer drei übel. Sie ist dem Druck nicht gewachsen. Die Vorstellung, einen einzigen Fehler zu begehen... die Entfrosterbombe versehentlich auszulösen... die thermische Schockwelle über das gesamte Wintersportgebiet wandern zu sehen... das Bild von hunderten Rodelschlitten auf grünem Gras... Es braucht Nerven wie Kevlarseile, um angesichts der Gefahr ruhig zu bleiben. Nummer drei hat diese Nerven nicht. Und das Team hat nun keine Nummer drei mehr.
Die Zeit drängt. In der Eile bleibt nur eine Lösung: Sie müssen einspringen! Die Situation ist Ihnen bekannt. Alles, was Sie nun noch wissen müssen, ist, wie man die thermische Entfrosterbombe entschärfen kann. Im Prinzip ist das ganz einfach: Sie schrauben den Deckel des Zylinders ab, entnehmen die große Zeitgeber-Kugel und stecken die kleinen Thermosprengsätze in spezielle Isolatorgefäße. Das ist alles.
Der Haken an dem Auftrag ist nur, dass die Isolatorgefäße äußerst schwer und unhandlich sind. Damit Ihr Kommando nicht durch unnützen Ballast aufgehalten wird, kann es darum nur die wirklich notwendige Anzahl mitnehmen. Und die müssen Sie jetzt schnell bestimmen. Also wie viele kleine Kugeln passen maximal in den Zylinder, wenn jede sowohl dessen Boden als auch die große Zeitgeber-Kugel berühren muss? Diese hat übrigens einen Durchmesser, der genau dem Öffnungsdurchmesser des Zylinders entspricht, und außerdem berührt sie ebenfalls den Boden.
Haben Sie die Lösung? Dann viel Glück auf dem Weg zum Integralhorn. Sie werden es brauchen!
Nur ganz knapp vor den Olympischen Winterspielen konnten die thermischen Entfrosterbomben entschärft werden. Wie? Das erfahren Sie bei uns Schritt für Schritt.
Die Geometrie der Entfrosterbomben ist offensichtlich wichtig für das Entschärfungsteam, den sie bestimmt, auf wie viele der gefährlichen kleinen Thermosprengsätze sich das Räumungskommando einzustellen hat. Aber wie viele Sprengsätze sind es denn pro Bombe?
Die Sprengsätze sind kleine Kugeln mit dem Durchmesser d. Sie stecken am Boden eines Zylinders mit dem Durchmesser D, in den haargenau eine große Kugel mit demselben Durchmesser passt. Alle kleinen Kugeln, berühren sowohl Boden und Wand des Zylinder wie auch die große Kugel.
Bestimmen wir zunächst wie sich die Durchmesser d und D der Kugeln zueinander verhalten. Dazu nutzen wir die beiden Hilfsstrecken a und b. Dann gilt:
1/2d + b + a = 1/2D
Drücken wir nun a und b mit Hilfe des Satzes von Pythagoras durch die Durchmesser der Kugeln aus:
(1/2D)^2 = 2b^2
b = 1/4 Wurzel(2) D
(1/2d)^2 = 2a^2
a = 1/4 Wurzel(2) d
All das stecken wir in die erste Gleichung und stellen nach d um:
1/2D = 1/2d + 1/4 Wurzel(2) D + 1/4 Wurzel(2) d
d = (3 - 2Wurzel(2)) D
Damit können wir nun berechnen, wie viel kleine Kugeln sich an den Rand des Zylinders legen lassen.
Für alpha gilt in dem rechtwinkligen Dreieck:
sin(alpha) = 1/2d/(1/2D - 1/2d)
sin(alpha) = (Wurzel(2)-1)/2
alpha = 11,95°
360°/(2·11,95°)=15,1
Es passen also 15 kleine Thermosprengsätze in die Entfrosterbomben.
Die Sprengsätze sind kleine Kugeln mit dem Durchmesser d. Sie stecken am Boden eines Zylinders mit dem Durchmesser D, in den haargenau eine große Kugel mit demselben Durchmesser passt. Alle kleinen Kugeln, berühren sowohl Boden und Wand des Zylinder wie auch die große Kugel.
Bestimmen wir zunächst wie sich die Durchmesser d und D der Kugeln zueinander verhalten. Dazu nutzen wir die beiden Hilfsstrecken a und b. Dann gilt:
1/2d + b + a = 1/2D
Drücken wir nun a und b mit Hilfe des Satzes von Pythagoras durch die Durchmesser der Kugeln aus:
(1/2D)^2 = 2b^2
b = 1/4 Wurzel(2) D
(1/2d)^2 = 2a^2
a = 1/4 Wurzel(2) d
All das stecken wir in die erste Gleichung und stellen nach d um:
1/2D = 1/2d + 1/4 Wurzel(2) D + 1/4 Wurzel(2) d
d = (3 - 2Wurzel(2)) D
Damit können wir nun berechnen, wie viel kleine Kugeln sich an den Rand des Zylinders legen lassen.
Für alpha gilt in dem rechtwinkligen Dreieck:
sin(alpha) = 1/2d/(1/2D - 1/2d)
sin(alpha) = (Wurzel(2)-1)/2
alpha = 11,95°
360°/(2·11,95°)=15,1
Es passen also 15 kleine Thermosprengsätze in die Entfrosterbomben.
Das mathematische Problem stammt von Univ.-Prof. Dr. Gerd Baron und Dr. Richard F. Mischak. Weitere Aufgaben finden Sie auf den Seiten des Wettbewerbs Jagd auf Zahlen und Figuren. Die erzählerische "Verpackung" gestaltete Dr. Olaf Fritsche.
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