Die Quadratwurzel einer Zahl x ist die Zahl y, die mit sich selbst multipliziert gerade x ergibt. Sieht man von ein paar mathematischen Details (wie der Tatsache, dass die Gleichung y·y = x zwei Lösungen hat) ab, dann ist das Konzept des Wurzelziehens nicht schwer zu verstehen.

Aber wie berechnet man die Wurzel konkret? Man kann einen Taschenrechner benutzen, der aber auch nicht durch Magie funktioniert, sondern einen Algorithmus benutzt. Oft ist es einer, der auf dieser Formel basiert:

Angenommen, wir haben eine positive, reelle Zahl S, deren Wurzel wir berechnen wollen. Dann müssen wir uns nur einen halbwegs plausiblen Wert x₀ als Startwert überlegen und können dann die Formel nutzen, um ihn per Iteration bis zur gewünschten Genauigkeit zu korrigieren.

Wenn wir etwa die Wurzel der Zahl 573 berechnen wollen, können wir als Startwert x₀ = 25 verwenden. Die Gleichung sagt uns, dass x₁ dann 23,96 beträgt. Damit rechnen wir die Formel noch einmal durch und kommen auf x₂ = 23,93742… Wenn wir uns mit einer signifikanten Stelle nach dem Komma zufriedengeben, können wir jetzt schon aufhören. Oder wir rechnen noch ein drittes Mal und erhalten x₃ = 23,93741… und haben jetzt tatsächlich den korrekten Wert der Wurzel aus 573 auf fünf Stellen hinter dem Komma berechnet.

Vom Rechteck zum Quadrat

Man nennt diese Methode das Heron-Verfahren, nach dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria. Ein wenig korrekter wäre aber die Bezeichnung »babylonisches Verfahren«, denn vermutlich wurde die Methode schon lange vor Heron von den Babyloniern genutzt. Die Idee hinter der Formel ist einfach, aber genial: Ein Quadrat mit einem Flächeninhalt S muss eine Seitenlänge haben, die gerade der Wurzel aus S entspricht. Das Heron-Verfahren wandelt ein Rechteck schrittweise in ein Quadrat gleichen Flächeninhalts um.

In unserem Beispiel würden wir mit einem Rechteck starten, dessen Seiten 573 und 1 Einheiten lang sind. Jetzt muss die eine Seite kürzer und die andere länger gemacht werden, bis sie gleich lang sind (natürlich ohne dass sich der Flächeninhalt ändert). Dazu bildet man den Mittelwert aus den beiden Zahlen und findet einen neuen Wert für die längere Seite des Rechtecks, nämlich 287. Damit lässt sich auch die neue kürzere Seitenlänge berechnen, die den Flächeninhalt nicht verändert: ⁵⁷³⁄₂₈₇ ≈ 1,99… Das ist immer noch weit von einem Quadrat entfernt, aber man muss die Rechnung nur ein paar Mal wiederholen, bis sich die Seitenlängen auf den korrekten Wert von 23,93741… angenähert haben.

Es gibt noch jede Menge andere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen (es gibt sogar ein der schriftlichen Division ähnliches Verfahren, das allerdings sehr viel komplizierter als die babylonische Methode ist). Der Algorithmus nach Heron hat jedoch den Vorteil, dass er mit den Grundrechenarten auskommt und sich dadurch gut als Software implementieren lässt – zum Beispiel in Taschenrechnern.

Zur Zeit von Heron, der um die Zeitenwende gelebt haben soll, aber auch in den Jahrhunderten davor und danach, war es unerlässlich, solche Methoden zu beherrschen, wenn man Wurzeln berechnen wollte. Heute reicht uns ein Taschenrechner oder der entsprechende Befehl in der Tabellenkalkulation. Dass wir solche Rechnungen nicht mehr mühsam per Hand ausführen müssen, so wie früher, ist ein großer Vorteil. Trotzdem sollten wir nicht vergessen, dass im Hintergrund immer noch jede Menge spannende Mathematik abläuft, die vor Jahrtausenden mit der praktischen Arbeit von babylonischen Feldvermessern begonnen hat und heute noch längst nicht zu Ende ist.