Angewandte Mathematik

Das Geheimnis der Girih

Mit ihrer zeitlosen �sthetik schm�cken islamische Ornamente Moscheen und Pal�ste von Spanien bis nach Indien. Wie die mittelalterlichen Kunsthandwerker zu solchen Meisterwerken f�hig waren, blieb lang ein R�tsel. Zwei findige Physiker enth�llten nun ihren genialen Trick.

Vinzenz Sch�nfelder

Gegen Ende des ersten Jahrtausends herrschte in Bagdad eine bl�hende Zivilisation. Die Stadt diente als Sammelpunkt der griechischen und indischen Wissenschaft, hier entlang fand die dezimale Zahlenschrift ihren Weg nach Europa. Mit Sch�tzungen von bis zu einer Million Einwohnern war Bagdad damals die gr��te und zugleich reichste Stadt �berhaupt. Sie blieb eines der wichtigsten kulturellen und wissenschaftlichen Zentren weltweit – bis Anfang des Jahres 1258 die Mongolen einfielen und den Gro�teil der Bewohner regelrecht massakrierten. Von diesem Schlag vor fast 750 Jahren hat sich die islamische Zivilisation bis heute nicht v�llig erholt. Mit ihrem Niedergang verlor die Welt unz�hlige Wissenssch�tze des Mittelalters, die wir heute nur mehr m�hsam rekonstruieren k�nnen.

Da islamische Kunsthandwerker aufgrund �berlieferter Weisungen des Propheten Mohammed auf figurative Darstellungen verzichteten, verzierten sie Moscheen, heilige Schreine und Koranausgaben mit ebenso komplexen wie �sthetischen Mustern. Weit verbreitet waren so genannte Girih – das Wort stammt aus dem Persischen und bedeutet "Knoten". Die Grundelemente eines Girih-Musters lassen sich zwar mit Lineal und Zirkel konstruieren, doch nur bei zwei-, drei-, vier- oder sechsz�hliger Rotationssymmetrie sind sie periodisch fortsetzbar. Schon Anfang des 13. Jahrhunderts finden sich in der islamischen Architektur jedoch zehnz�hlige Symmetrien, die nichtperiodische Muster aus Hunderten von Zehnecken bilden. Geometrische Verzerrungen lassen sich bei solch hochkomplizierten Ornamenten mit einfachen Werkzeugen kaum vermeiden. Wie also gelangen diese Meisterwerke?

**Rekonstruktion des Musters mit Girih-Kacheln**

Des R�tsels L�sung haben Peter Lu von der Harvard-Universit�t und Paul Steinhardt von der Universit�t Princeton nun gefunden. Die beiden Physiker betrachteten verschiedenste Girih-Muster an islamischen Bauwerken von der T�rkei bis nach Indien sowie architektonische Schriftrollen und die Verzierung mittelalterlicher Koranausgaben. Dabei entdeckten sie, dass sich alle Muster in "Girih-Kacheln" zerlegen lassen – ein Satz aus f�nf einfachen Vielecken: ein Zehneck, ein Sechseck, ein F�nfeck sowie ein Rhombus und eine Fliege. Die Kanten der Kacheln haben allesamt die gleich L�nge, und jede tr�gt eine einfaches Muster, dessen Linien die Kanten halbiert. Beim Aneinanderlegen der Kacheln verbinden sich die Linienmuster zu einem zusammenh�ngenden Netzwerk, das sich �ber die gesamte Fl�che erstreckt.

In Schriftrollen aus dem 15. Jahrhundert fanden sich tats�chlich Zeichnungen der f�nf Girih-Kacheln – ein Beleg, dass die mittelalterlichen Architekten diese Technik verwendeten. Die einzelnen Kacheln konnten Handwerker ohne mathematische Kenntnisse mit einfachen Mitteln fertigen. Egal wie die Girih-Kacheln dann kombiniert wurden, immer entstand eine Geometrie mit zehnz�hliger Symmetrie.

Wie die Wissenschaftler vermuten, sorgte dieser geometrische Trick bereits Ende des 12. Jahrhunderts f�r einen regelrechten Design-Durchbruch in der islamischen Welt. Denn die Verwendung der Girih-Kacheln erlaubte nicht nur eine einfachere, schnellere und genauere Arbeit, sondern erm�glichte Konstruktionen von extremer Komplexit�t, die um 1200 erstmalig auftauchten.

Die besondere Aufmerksamkeit der beiden Forscher zogen die Ornamente am Darb-i-Imam-Schrein in Isfahan aus dem Jahre 1453 auf sich, denn hier offenbarte sich ein quasikristallines Muster: Aus der N�he betrachtet �hnelt es in seiner Ordnung einem Kristall, aus der Ferne wird jedoch offenbar, dass keine periodischen Wiederholungen auftreten. Solche quasikristallinen Formen k�nnen bei der �berlagerung zweier einfacher periodischer Muster entstehen, die sich jeweils mit unterschiedlicher Raumfrequenz wiederholen. Das Geheimnis des Quasikristalls besteht darin, dass sich das Verh�ltnis der Frequenzen nicht durch einen rationale Zahl, einen Bruch, ausdr�cken l�sst. So verschmelzen die beiden periodischen Muster zu einem neuen, das sich unendlich fortsetzt, gleichwohl aber nie wiederholt.

**Rekonstruktion des Musters am Darb-i-Imam-Schrein**

Die Wissenschaftler konnten auch erkl�ren, wie die islamischen K�nstler die Muster damals konstruierten: Sie unterteilten die einzelnen Girih-Kacheln in kleinere Bruchst�cke, die jeweils wieder die Form der f�nf Girih-Kacheln besa�en. In den Mustern des iranischen Schreins fanden sich zwar kleine Fehlstellen, die jedoch allesamt einfach zu korrigieren w�ren. Die beiden Physiker zeigten damit, dass einzelne islamische Muster praktisch unendlich ausdehnbare quasikristalline Strukturen darstellen.

In der modernen Mathematik besch�ftigte sich erstmals 1961 der chinesisch-amerikanische Logiker Hao Wang mit der Frage, ob eine unendliche Fl�che auch mit einer endlichen Menge von Kachelformen nichtperiodisch, also quasikristallin, abgedeckt werden kann. Der Nachweis gelang 1966 seinem deutschen Kollegen Robert Berger. Doch auch Roger Penroses Entdeckung, dass nur zwei verschiedene Kacheln gen�gen, blieb mathematische Spielerei, bis 1982 Dan Shechtman zum eigenen Erstaunen erstmals quasikristalline Muster an einer Aluminium-Legierung beobachtete – ein Meilenstein der Materialforschung, dem eine Lawine von Publikationen folgte, die sich mit den merkw�rdigen Eigenschaften der Quasikristalle befassten. Paul Steinhardt war in diesem Feld ein Pionier der ersten Stunde – kein Zufall also, dass er an der Entdeckung der islamischen Muster beteiligt ist. Zugleich zeigt sich, welche Br�cken die Mathematik zwischen Kunst und Naturwissenschaften schlagen kann.

**Girih-Muster eines t�rkischen Mausoleums**

Ob die mittelalterlichen Kunsthandwerker die zugrunde liegenden mathematischen Regeln tats�chlich verstanden haben, k�nnen Steinhardt und Lu zwar nicht sagen. Doch haben sie den Kunstgeschichtlern mit ihren Ergebnissen nun Werkzeuge an die Hand gegeben, um weitere solcher kunsthandwerklichen Wunder zu entdecken.

Um die Sch�tze der islamischen Kultur zu bewundern, muss der Europ�er seinen Kontinent �brigens gar nicht verlassen. Ein Ausflug in den maurischen Alhambra-Palast im s�dspanischen Granada gen�gt – auch die verbliebenen Reste seines urspr�nglichen Glanzes lassen staunen.